Задача по теории вероятностей

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!
Попалась следующая задачка по ТВ.
$\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ - н.о.р. невырожденные положительные случайные величины и $\eta_k=\dfrac{\xi_k}{\xi_1+\dots+\xi_n}$. Найти $E\eta_k, Corr(\eta_k, \eta_l)$.
У меня возникли вопросы по условию задачи:
1) н.о.р. - независимые одинаково распределенные?
2) $E\eta_k$ - математическое ожидание с.в. $\eta_k$ (или что-то другое)?
3) Мне кажется, что в условии задачи чего-то не хватает. Например нет закона распределения с.в. $\xi_i$
Ответьте пожалуйста на вопросы.

С уважением, Whitaker.

[Хорхе]

1), 2) да
3) Всего в условии хватает. Это задача довольно известная, и

$$ E(\eta_k) = \frac1n. $$

Подумайте, почему.

Чему равен коэффициент корреляции, сразу не скажу, но считается точно так же.

[Whitaker]

Хорхе
я подумал, но мне пока, что непонятно почему у Вас значение мат. ожидания именно такое
Я попытался найти функцию распределения с.в. $\eta_k$, но .....
P.S. А с.в $\xi_1, \dots, \xi_n$ - непрерывные да?

[deebo]

Тогда подумайте, чему равны $E(\sum_{k=1}^{n}\eta_{k})$ и $Var(\sum_{k=1}^{n}\eta_{k})$.

[_hum_]

Да, и еще, наверное, стоит упомянуть ключевое слово "симметрия".

[--mS--]

И уже совсем для красоты стоит построить пример, показывающий, что в отсутствии условия независимости математическое ожидание $\eta_k$ уже не обязано быть $1/n$.

(Оффтоп)

Это музыка навеяла :) Пойду проверять сегодняшнюю контрольную, вдруг да кто такой пример построил :)

[Whitaker]

$M\Big(\sum \limits_{k=1}^{n}\eta_k\Big)=1$
По свойству мат. ожидания последнее равенство равно такому:
$\sum \limits_{k=1}^{n}M\eta_k=1$
А почему это $M_{\eta_1}=M_{\eta_2}=\dots=M_{\eta_n}$?
Здесь наверное как-то используется одинаково распределенность, но понять не могу.

[Whitaker]

Вот теперь мне нужно найти коэффициент корреляции:
$Corr(\eta_k, \eta_l)=\dfrac{cov(\eta_k, \eta_l)}{\sqrt{D_{\eta_k}D_{\eta_l}}}$
Найдем для начала дисперсию $\eta_k$:
$D_{\eta_k}=M(\eta_k-M\eta_k)^2=M(\eta_k-\frac{1}{n})^2=M\eta_k^2-\frac{1}{n^2}$
Но вот мат. ожидание с.в $\eta_k^2$ я что-то найти не могу.
Как найти ее?? подскажите пожалуйста

[--mS--]

Все подсказки (даже, как всегда, лишние) в этой ветке уже даны. И на все вопросы ответы тоже даны.

[Хорхе]

--mS-- в сообщении #564241 писал(а):

И уже совсем для красоты стоит построить пример, показывающий, что в отсутствии условия независимости математическое ожидание $\eta_k$ уже не обязано быть $1/n$.

Пример построить легко с тремя величинами. Две из них пусть совпадают, а третья от них независима. Можно даже с двумя построить, но уже сложнее, там бернулиевские не подойдут. Но трехзначные - легко.

Самое вменяемое достаточное условие - перестановочность распределения ксикатых.

[--mS--]

(Оффтоп)

Конечно. Жаль, что ни одному из приличных студентов вариант с этой задачей не попался, было бы интересно посмотреть на решения :).