Равномерная непрерывность и ограниченность производной

[not_not_not_0]

Вопрос: следует ли из равномерной непрерывности на интервале ограниченность производной? Ниоткуда из определений вроде не следует, но и привести контрпример тоже не получается (пробовал разное: $x\sin{\frac{1}{x}}, \sqrt{1-x^2}$, экспоненту в хитрых степенях, разные комбинации...). Обратное-то точно верно, легко доказать по теореме Лагранжа...

[mihailm]

корень тема

[not_not_not_0]

Корень? Производная у него неограниченна на, допустим, (0,1), но разве он там равномерно непрерывен?

[mihailm]

not_not_not_0 в сообщении #563923 писал(а):

Корень? Производная у него неограниченна на, допустим, (0,1), но разве он там равномерно непрерывен?

допустим на [0,1]

[not_not_not_0]

По условию задачи на интервале же.

[мат-ламер]

not_not_not_0 в сообщении #563914 писал(а):

(пробовал разное:

С синусом ещё попытайтесь. Плюс $x$ в разных степенях. (Здесь плюс не в смысле прибавить). Что-то у меня было на форуме с этим.

[Dan B-Yallay]

not_not_not_0 в сообщении #563923 писал(а):

Корень? Производная у него неограниченна на, допустим, (0,1), но разве он там равномерно непрерывен?

А разве нет?

[xmaister]

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ липшицево на $(0,1)$

[мат-ламер]

xmaister в сообщении #563934 писал(а):

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ липшицево на $(0,1)$

Любопытно, с какой константой?

[mihailm]

xmaister в сообщении #563934 писал(а):

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ липшицево на $(0,1)$

ща

[Dan B-Yallay]

А чем бесконечность не константа? Везде дискриминация.

[xmaister]

Да, прокололся, извините

[not_not_not_0]

Наверное, самое первое решение, которое подсказал mihailm, и есть наилучшее.
$\sqrt{x}$ - непрерывен на [0,1] $ \Rightarrow \sqrt{x}$ - равномерно непрерывен на [0,1] $ \Rightarrow \sqrt{x}$ - равномерно непрерывен на (0,1). Но производная стремится к $\inf$ при $x \to +0$.
Вроде так. Всем спасибо, ребята.