Интеграл функции матричного аргумента

[deebo]

Имеется следующий интеграл функции матричного аргумента
$\int_{Z>0}etr(-Z-Z^{-1})|Z|^{\delta}dZ$
где интегрирование проводится по области, в которой матрица $Z$ положительно определена.
Можно ли выразить данный интеграл через какие-либо специальные функции скалярного аргумента?
В частности, не получится ли здесь какое-либо произведение модифицированных функций Бесселя второго рода?

[Nimza]

$dZ$ --- мера Хаара? Этот интеграл не то же ли самое, что

$$ \int\limits_{\mathbb{R}^{n}_{+}} e^{-\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i}+\frac{1}{x_{i}})} (x_{1}\ldots x_{n})^{\delta} dx $$

[g______d]

Не нужно ли еще сказать, что $x_1\le x_2\le \ldots\le x_n$ ?

-- 26.04.2012, 00:48 --

Или хотя бы на $n!$ поделить...

[deebo]

Nimza в сообщении #563974 писал(а):

$dZ$ --- мера Хаара?

К сожалению, не знаком с понятием меры Хаара. Здесь

$dZ=dz_{11}dz_{12}...dz_{1n}dz_{22}...dz_{2n}...dz_{nn}$

То есть, насколько я понимаю, это просто интеграл Римана по всем элементам положительно определенной $n\times n$ матрицы $Z$.

Nimza в сообщении #563974 писал(а):

Этот интеграл не то же ли самое, что

$$ \int\limits_{\mathbb{R}^{n}_{+}} e^{-\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i}+\frac{1}{x_{i}})} (x_{1}\ldots x_{n})^{\delta} dx $$

А каким образом его можно свести к такому виду? Как я понимаю, $x_{i}\;\;i=1,...,n$ в данном случае являются собственными значениями матрицы $Z$. Если это так, то почему в дифференциалах остается просто $dx=dx_{1}...dx_{n}$? Куда деваются собственные вектора?

[g______d]

deebo в сообщении #564118 писал(а):

$dZ=dz_{11}dz_{12}...dz_{1n}dz_{22}...dz_{2n}...dz_{nn}$
То есть, насколько я понимаю, это просто интеграл Римана по всем элементам положительно определенной $n\times n$ матрицы $Z$.

Мера $\mathbb dZ$ инвариантна относительно преобразования $Z\mapsto UZU^{-1}$ для унитарной $U$. Положительную матрицу так можно свести к диагональной с упорядоченными диагональными элементами. Т. е. надо проинтегрировать по диагональным матрицам с упорядоченными элементами, а потом по всем $U$. Мера Хаара --- это единственная инвариантная вероятностная мера на $U(n)$. Мера $dZ$ с точностью до нормировки совпадает с произведением стандартной меры на диагональных матрицах с упорядоченными элементами и меры Хаара на $U(n)$. С нормировкой надо аккуратно --- например, Вы учитываете, что $z_{ij}=\overline{z_{ji}}$?

Собственные вектора как раз и есть столбцы $U$.

Более подробно посмотрите книги по случайным матрицам. В любой из них есть глава про такие интегралы. Недавно какую-то из известных книг издали на русском.

[Nimza]

Можете посмотреть, например, G. Anderson и другие --- An Introduction to Random Matrices. Смотрите применение интегральной формулы Вейля (Weyl).