Неравенство

[xmaister]

Нужно доказать неравенство $\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{a_1^3+a_2^3+a_3^3}\ge\dfrac{a_1^3+a_2^3+a_3^3}{a_1^4+a_2^4+a_3^4}$, $a_1,a_2,a_3\in (0,+\infty)$. Вопрос такой: Можно ли найти $x,y,z\in\mathbb{R}^3$, для которых матрица Грама имеет определитель $(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(a_1^4+a_2^4+a_3^4)-(a_1^3+a_2^3+a_3^3)^2$?

[ewert]

Просто тупо раскройте все скобки; и, скажем, очевидно, что $a_1^2a_2^4+a_1^4a_2^2-2a_1^3a_2^3\geqslant0$.

[xmaister]

Если так, то тут скобки раскрывать всё таки лишнее. Это же неравенство Коши. Но меня интересует как находить (если вообще можно) матрицу Грама, просто тупо перебирать случайные вектора как-то не очень...

[RIP]

Ну, раз неравенство Коши, то определитель Грама второго порядка:

$$(x,x)(y,y)-(x,y)^2=\det\begin{pmatrix}(x,x)&(x,y)\\(y,x)&(y,y)\end{pmatrix}.$$

Если хочется непременно третьего, дополните ортогональным вектором единичной длины.