Оптимальные точки интерполяции. Как искать?

[magicmount]

Здравствуйте!

Есть задача интерполирования некоторой функции. Но стал вопрос о выборе оптимальных точек интерполирования. Но мне не совсем ясно, как с помощью полиномов Чебышева осуществить это. Не могли бы вы подсказать, в сторону использования какой формулы надо смотреть? Заранее благодарен.

[Gordmit]

magicmount писал(а):

Но стал вопрос о выборе оптимальных точек интерполирования. Но мне не совсем ясно, как с помощью полиномов Чебышева осуществить это.

Оптимальными узлами интерполяции будут корни полиномов Чебышева.
На $[-1,1]$ полином Чебышева равен $P_n(x)=\cos(n\arccos x)$, а его корни (узлы интерполяции) - $x_k=\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ ($k=0,1,\ldots,n-1$).

[magicmount]

Gordmit писал(а):

Оптимальными узлами интерполяции будут корни полиномов Чебышева.
На $[-1,1]$ полином Чебышева равен $P_n(x)=\cos(n\arccos x)$, а его корни (узлы интерполяции) - $x_k=\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ ($k=0,1,\ldots,n-1$).

О, да. Я тоже нашел эту формулу, и уже понял в чем суть . Спасибо. У меня есть еще один вопрос: а есть ли альтернативная формула нахождения узлов, которая не использует тригонометрические функции? Условие задачи явным образом запрещает их использование.

Спасибо.

[Lion]

Вы можете задавать произвольные сетки, например, эквидистантные (т.е. делящие область интерполирования на равные части). В разных случаях бывают выгодны разные сетки. Их качество характеризуется т.н. константой Лебега. Чем она меньше, тем лучше выбор узлов. Есть известная проблема Бернштейна, состоящая в определении оптимального выбора узлов. Общей формулы для таких узлов нет, однако они очень хорошо приближаются чебышевской сеткой.

[magicmount]

Неужели узлы полинома Чебышева невозможно посчитать другой, нежели чем та, которая представлена здесь с косинусами? Интересует формула без использования тригонометрических функций.

Спасибо.

[RIP]

magicmount писал(а):

Неужели узлы полинома Чебышева невозможно посчитать другой, нежели чем та, которая представлена здесь с косинусами? Интересует формула без использования тригонометрических функций.

Спасибо.

А что Вы имеете против тригонометрических функций?

А что разрешается использовать в формуле?

[magicmount]

RIP писал(а):

А что Вы имеете против тригонометрических функций?

А что разрешается использовать в формуле?

Набор математических операций [$+$, $-$, $/$, $*$] и заведомо-точные значения, например, \sqrt{4} = 2.

[RIP]

magicmount писал(а):

RIP писал(а):

А что разрешается использовать в формуле?

Набор математических операций [$+$, $-$, $/$, $*$] и заведомо-точные значения, например, \sqrt{4} = 2.

Не могли бы Вы уточнить понятие "заведомо-точных значений". $\sqrt[4]{13}$ относится к таковым?

[magicmount]

RIP писал(а):

Не могли бы Вы уточнить понятие "заведомо-точных значений". $\sqrt[4]{13}$ относится к таковым?

Наверное, сейчас несколько некорректно выражусь, но имеются виду такие числа с конечным числом значимых цифр после запятой. Ибо, сейчас проверил Ваше выражение в Maple (Linux), получил такой результат: $\sqrt[4]{13} = 1.898828922$, когда CAS Maxima (Linux) дает такой результат: $\sqrt[4]{13} =1.898828922115942. Т.е. каждое вычислительное средство выдает свой вариант ответа. Поэтому, видимо (задание также дано довольно расплывчато), значение $\sqrt[4]{13}$ не относится к заведомо-точным.

[Lion]

Тогда узлы чебышевской сетки невозможно посчитать "заведомо-точно": косинус числа редко имеет конечное количетсво значащих цифр после запятой.

[RIP]

magicmount
Более того, я Вас уверяю, что ни при каком $n>1$ число $x_0=\cos\frac{\pi}{2n}$ не является рациональным, а, насколько я понял, только рациональные числа Вы можете получить при Ваших ограничениях.

[magicmount]

Lion
RIP
Ответ ясен. Спасибо за помощь и разъяснения. Вопрос снят.

[Imnix]

magicmount писал(а):

Здравствуйте!

Есть задача интерполирования некоторой функции. Но стал вопрос о выборе оптимальных точек интерполирования. Но мне не совсем ясно, как с помощью полиномов Чебышева осуществить это. Не могли бы вы подсказать, в сторону использования какой формулы надо смотреть? Заранее благодарен.

Тема старенькая, но надеюсь, что кто-нибудь откликнется! =)

Вопрос: а какую интерполяционную формулу надо использовать для полиномов Чебышёва? Вот, допустим, у Гаусса или Ньютона интерполяционные формулы найти не проблема и они очень просты и понятны, а что делать с Чебышёвым никак не пойму!!! =(

[Xaositect]

Интерполяционная формула Лагранжа?