Несколько вопросов по мат. анализу

[Lilin]

Вечер добрый.
Есть несколько примеров по разным разделам курса матанализа. Хотелось бы узнать, правильно ли они решены, поскольку курс мат.ана был давно...
1.

$$\lim_{x\to 0+0} x^{\sin x}=\lim_{x\to 0+0} e^{\ln x^{\sin x}}$$

По правилу Лопиталя

$$\lim_{x\to 0+0} \ln x^{\sin x}=\lim_{x\to 0+0} \ln x \sin x=\lim_{x\to 0+0}\frac{ \sin^2 x}{x \cos x}=\lim_{x\to 0+0}\frac{ \sin x}{x }\frac{\sin x}{\cos x}=\lim_{x\to 0+0} \tg x=0$$

Тогда

$$\lim_{x\to 0+0} x^{\sin x}=\lim_{x\to 0+0} e^{\ln x^{\sin x}}=\lim_{x\to 0+0} e^{0}=1$$

2.

$$\int \frac{\tg x-3\sqrt {\cos x} }{2\ctg x}{\,dx}=\frac{1}{2}(\tg x-x)+3\sqrt{\cos x}+C$$

3.

$$\int\limits_1^{\mathcal {1}} \frac{x-5}{x^2-2x+2}{\,dx}$$

Я сравнила с интегралом

$$\int\limits_1^{\mathcal {1}} -\frac{4}{x}{\,dx}$$

Он расходится. Значит и исходный интеграл расходится

Малость подправил формулы. Надеюсь, не ошибся. // AKM
Исправила, спасибо)

[svv]

2 задание -- правильно.
Чтобы проверить, надо взять производную от того, что получилось. Если получится исходная подынтегральная функция, значит, интеграл взяли правильно.

[ewert]

В первом знак потерян, хотя на ответе это и не отражается.

Третье -- формально неверно: признаки сравнения работают только для неотрицательных функций. Да и откуда там взялась эта минус четвёрка -- загадка.

[Lilin]

А если третье задание в лоб брать? То есть посчитать несобственный интеграл и прийти к тому, что предел равен бесконечности?

[ewert]

Lilin в сообщении #563308 писал(а):

А если третье задание в лоб брать? То есть посчитать несобственный интеграл и прийти к тому, что предел равен бесконечности?

Можно, но нелепо. Зачем делать заведомо лишнюю работу?

[Lilin]

Моя дырявая память подсовывает мне только два способа решения - сравнить и в лоб.
Но сравнивать, как вы уже заметили, можно только с неотрицательными функциями. Но при х=2, например, исходная функция отрицательна...

[ewert]

Lilin в сообщении #563324 писал(а):

Но при х=2, например, исходная функция отрицательна...

А зачем нам 2? Нас должно интересовать только поведение на бесконечности.

[Lilin]

Тогда можно с $f(x)=\frac{1}{x}$