Функциональное уравнение

[MrDindows]

Найти все $2\pi$-периодичные, бесконечно дифференцируемые функции, такие что: $f(2x)=2\sin x f'(x)$ для всех $х \in R$.
Ответ очевиден, но как решить?)

[mihiv]

Попробовать разложить $f(x)$ в ряд Фурье.

[mihiv]

Из функционального уравнения получим,что $f(0)=0$ и $f'(x+\pi )=-f'(x)$. Из 2-го равенства следует,что разложение функции $f'(x)$ в ряд Фурье содержит только нечетные гармоники:

$$f'(x)=\sum \limits _{k=1}^{\infty }a_{2k-1}\cos (2k-1)+b_{2k-1}\sin (2k-1)x\qquad (1)$$

Из (1) получим

$$f(x)=a_0+\sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac {a_{2k-1}}{2k-1}\sin (2k-1)x-\frac {b_{2k-1}}{2k-1}\cos (2k-1)x$$

Сравнивая коэффициенты при синусах и косинусах в правой и левой частях функционального уравнения,находим $f(x)=b_1+a_1\sin x -b_1\cos x=2b_1\sin ^2\frac {x}2+a_1\sin x$,где $a_1,b_1$-произвольные постоянные.