правило Лопиталя, пример

[A'Y]

Вчера столкнулся с

$$\frac{a}{4}\cth{\frac{a}{2b}}$$

при $\frac{a}{b}\to 0$. Не получается решить.

[Joker_vD]

Вот как все-таки удобно знать тему примера! Сказали "Лопиталь", и сразу уже понятно, что нужно делать для победы: преобразовывать в дробь.

$$\cth x=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}$$

[A'Y]

Делаю.

-- 23.04.2012, 10:07 --

$$ \cth\frac{a}{2b}=\frac{e^{2\frac{2}{2b}}+1}{e^{2\frac{a}{2b}}-1}=\frac{e^{\frac{a}{b}}+1}{e^{\frac{a}{b}}-1} $$

Тогда

$$ \frac{a}{4}\cth\frac{a}{2b}=\frac{a}{4}\frac{e^{\frac{a}{b}}+1}{e^{\frac{a}{b}}-1} $$

-- 23.04.2012, 10:09 --

$e^{0}=1$

-- 23.04.2012, 10:12 --

$\frac{a}{b}$ обозначим за $x$

$$\frac{a}{4}\cth\frac{x}{2}=\frac{a}{4}\frac{e^x+1}{e^x-1}$$

$$ \lim_{x\to 0}\frac{a}{4}\frac{e^x+1}{e^x-1}=\frac{a}{4}\lim_{x\to 0}\frac{e^x+1}{e^x-1} $$

-- 23.04.2012, 10:15 --

Что дальше?

-- 23.04.2012, 10:18 --

$\frac{2}{0}$, т.е. $\infty$ под пределом получается

-- 23.04.2012, 10:22 --

может нужно домножить на $\frac{b}{b}$?
Тогда

$$ \frac{b}{4}\lim_{x\to 0}\frac{e^x+1}{e^x-1}x $$

И это неопределенность типа $\infty\cdot 0$. По Лопиталю дальше?

-- 23.04.2012, 10:25 --

Продифференцируем числитель и знаменатель. Получим

$$ \frac{b}{4}\lim_{x\to 0}\frac{e^x(x+1)}{e^x}=\frac{b}{4}\lim_{x\to 0}(x+1)=\frac{b}{4} $$

-- 23.04.2012, 10:27 --

Ответ: $\frac{b}{4}$.

-- 23.04.2012, 10:27 --

Правильно?

-- 23.04.2012, 10:36 --

А не. Ошибся в дифференцировании.

-- 23.04.2012, 10:47 --

Пишу с момента домножения на $\frac{b}{b}$

$$ \lim_{x\to0}\frac{a}{4}\frac{e^x+1}{e^x-1}\frac{b}{b}=\frac{b}{4}\lim_{x\to0}x\frac{e^x+1}{e^x-1}=\frac{b}{4}\lim_{x\to0}\frac{xe^x+x}{e^x-1} $$

дифференцируем и получаем

$$ \frac{b}{4}\lim_{x\to0}\frac{e^x+xe^x+1}{e^x} $$

делим почленно и получаем

$$ \frac{b}{4}\lim_{x\to0}\left[1+x+\frac{1}{e^x}\right]=\frac{b}{4}\left[1+0+1\right]=\frac{b}{4}2=\frac{b}{2} $$

-- 23.04.2012, 10:48 --

Ответ: $\frac{b}{2}$.
Правильно всё?

-- 23.04.2012, 10:49 --

Спасибо!

-- 23.04.2012, 10:58 --

А какнть проще можно было?

[A'Y]

Решить по-другому, попроще, можно было?

-- 23.04.2012, 11:15 --

А, понятно где чуть упростить можно. Спасибо.

-- 23.04.2012, 11:40 --

А ведь там получалась не неопределенность, а $0\cdot0$. Это ж нуль.

-- 23.04.2012, 11:43 --

А, понял. Мы сводим ее к $0\cdot\frac{0}{0}$

[A'Y]

а нет просто к нуль на ноль

-- 23.04.2012, 12:11 --

а нет просто к нуль на ноль

-- 23.04.2012, 12:11 --

Все понятно вроде)

[ewert]

A'Y в сообщении #562906 писал(а):

$$\frac{a}{4}\cth{\frac{a}{2b}}$$

при $\frac{a}{b}\to 0$. Не получается решить.

И не получится. Всё что угодно может выйти. Задача недоопределена.

[A'Y]

В смысле? Понятно же что требуется. Рассмотреть предел при $\frac{a}{b}$. Чего-то еще нужно или просто это нужно было в начале сказать?

[bot]

У Вас ведь функция двух переменных и слишком много свободы для $\frac ab \to 0$

[A'Y]

Что значит много свободы? Ну и что что две переменных?

[ewert]

A'Y в сообщении #563313 писал(а):

Ну и что что две переменных?

То, что при $\frac ab \to 0$ соотношение между $\frac ab$ и просто $a$ может быть каким угодно.

[A'Y]

может быть кто-нибудь напишет так чтобы мне можно было понять. имеете в виду что то а что стоит перед качангенсом?