найти математическое ожидание

[Volel]

Помогите найти математическое ожидание у такого распределения:
задается следующей функцией плотности:

$$\frac {\lambda^\alpha} {\Gamma(\alpha)}x^{\alpha}e^{-{\lambda}x}(\frac {\lambda} {\lambda+x})^{\alpha+1}$$

То есть как вычислить интеграл

$$\int\limits_{0}^{\infty} \frac {\lambda^\alpha} {\Gamma(\alpha)}x^{\alpha+1}e^{-{\lambda}x}\left(\frac {\lambda} {\lambda+x}\right)^{\alpha+1} dx$$

(Ничо, что я скобки под интегралом покрасивше сделал ? //AKM)

[3.14]

Здравствуйте..Может стоит попробовать с помощью характеристической функции..Напишите формулу хар. функции :

$$ \varphi(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{ixt} f(x) dx $$

Но сразу брать этот интеграл не спешите..Далее можно продифференцировать хар. функцию по t :

$$ \varphi'(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac d {dt} (e^{ixt}) f(x) dx = i \int\limits_{-\infty}^{\infty} x e^{ixt} f(x) dx $$

Далее нужно свести это к диффуру. Обычно получается так :
$ \varphi'(t) = g(t) \varphi(t)$. Еще мы знаем, что : $ \varphi (0) = 1$. Тогда получаем стандартную задачу :

$$ \varphi'(t) = g(t) \varphi(t) $$

$$ \varphi (0) = 1 $$

Отсюда находим хар. функция..Потом пользуемся тем, что :
$\varphi'(0) = i E\xi $, где $ E\xi $ - мат. ожидание.
Попробуйте...Может что-нибудь и получится.