Система уравнений

[Snef]

Помогите, пожалуйста, разобраться!

Дана квадратная матрица $A$ размера $n $ с элементами $a_i_j$.
Нужно найти два вектора $X,Y$ таких, что $ x_i+y_j = a_i_j$, $ i,j = 1..n$.
Это возможно сделать без перебора?

[mihailm]

а вы какие n уже исследовали?

[Oleg Zubelevich]

лучше так: $e^{x_i}e^{y_j}=e^{a_{ij}}$ кстати, необходимым условием разрешимости задачи является следующее: матрица с компонентами $e^{a_{ij}}$ должна быть ранга 1
см post560473.html#p560473

[svv]

Это невозможно в общем случае. Например, уже для матрицы
$\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$

[Snef]

Спасибо! Cуществуют какие-нибудь способы приближенно найти эти вектора ?

[svv]

Рискну предположить, что решать такую задачу большого смысла не имеет. Что-то неверно в постановке задачи.
Даже наилучшее приближение чаще всего будет из рук вон плохим.

Пусть, например, дана матрица $2\times 2$. Если возможно её представить таким образом, то
$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1+y_1&x_1+y_2\\x_2+y_1&x_2+y_2\end{bmatrix}$
Теперь убедитесь, что $a_{11}+a_{22}=a_{12}+a_{21}$. В самом деле, обе суммы равны $x_1+y_1+x_2+y_2$.
Но ведь в той матрице, что дана, суммы $a_{11}+a_{22}$ и $a_{12}+a_{21}$ могут страшно различаться! А в найденном приближении $\tilde a_{ij}=x_i+y_j$, несмотря на это, они будут вынуждены совпадать.
Такое вот будет приближение.

[Snef]

Спасибо! Да, Вы правы, не имеет смысла решать эту задачу.