Манипулирование операторами в виде формальных степенных рядо

[Nxx]

Часто встречаюсь с выражениями:

$${D \over e^D - 1} = {\log(\Delta + 1) \over \Delta}$$

$$\int_x^{x+1} f(t)\,dt= {e^D - 1 \over D} [f]$$

$$\Delta = (e^D - 1)\,$$

$$f(a+x)=e^{a D}[f]$$

$$f(a x)=a e^{x D}[f]$$

$$f\left(\frac x{1-x}\right)= e^{x^2 D}[f]$$

Хотел бы знать, где я могу найти:

* полный набор правил таких манипуляций, чтобы можно было совершать преобразования без разворачивания степенных рядов.
* подходят ли такие манипуляции к нелинейным операторам
* список операторов в такой форме (например, конволюция, интеграл, композиция)

[arseniiv]

А имеют ли смысл в этих обозначениях $D[f]$ и $\Delta[f]$ и какой? (До меня просто не дошло, что они «в чистом виде» делают).

Ага, вижу, что $\Delta$ — конечная разность с шагом 1. А про $D$ пока непонятно.

(Оффтоп)

Кстати, записи вида $f(a+x) = e^{aD}[f]$ не очень корректны: слева число, а справа функция. Ясно, что имеется в виду применение её к $x$, но лучше сделать его в явном виде: $e^{aD}[f](x)$.

[Nxx]

$$f(a x)=a^{x D}[f]$$

конечно. в предыдущем сообщении опечатка