Производная

[Fanday]

Здравствуйте. Я пропустил несколько уроков в школе, поэтому вынужден обратиться к вам, если можно.

Каким образом решать задания наподобие "Выясните является ли прямая *** касательной к графику функции ***"?

Когда в задании сказано: "Найти точки, в которых касательная *** параллельна к графику ***" я решаю посредством приравнивания k (коэффициента касания, угловой коэффициент) функции к k прямой. Нахожу x и y и получаю точки. Составление уравнения касательной я тоже замечательно понял, использую это по отношению к заданиям наподобие "Из точки (*;*) проведите касательную к графику ***. А вот "Является ли прямая касательной к графику функции" не понял.

Надеюсь. вас не затруднит подсказать? :)

К примеру, такое задание (хотя вы можете его не объяснять, а лишь систему решения объяснить двумя словами, чтобы до меня дошло):

Цитата:

Выясните, является ли прямая $y=12x-10$ касательной к графику функции $y=4x^3$?

Заранее большое спасибо.

[ewert]

Fanday в сообщении #562180 писал(а):

можете его не объяснять, а лишь систему решения объяснить двумя словами, чтобы до меня дошло

Fanday в сообщении #562180 писал(а):

я решаю посредством приравнивания k (коэффициента касания, угловой коэффициент) функции к k прямой. Нахожу x и y и получаю точки

Вот и приравнивайте. А потом, когда точки будут найдены -- проверьте каждую, является ли она точкой касания. Т.е. является ли общей точкой.

[Fanday]

Спасибо за ответ :)

Цитата:

Вот и приравнивайте. А потом, когда точки будут найдены -- проверьте каждую, является ли она точкой касания. Т.е. является ли общей точкой.

Вообще, я понял, большое спасибо :)
Но вопрос всё-таки остался:
Насколько я знаю, коэффициенты эти равны, когда прямые параллельны. На каком основании я их приравниваю?

-- 20.04.2012, 18:54 --

И ещё два вопроса, если можно:
1) Почему найденные иксы (после приравнивания коэффициентов) мы подставляем в функцию $4x^3$ (чтобы найти игрек), а не в уравнению прямой $y=12x-10$. Как это разумно объяснить?

2) Найденные точки у меня (1;4) и (-1;-4). Каким образом я должен увидеть, является ли она точкой касания, то есть, как вы сказали, является ли общей точкой?

Спасибо.

[Praded]

Fanday
Для самопроверки можно представить в уме графики ваших функций.
Вы без производной поймёте, что ваша прямая не является касательной к вашей функции.

[Fanday]

Цитата:

Для самопроверки можно представить в уме графики ваших функций.

Не математический склад ума у меня. Не способен я даже прямую в уме сделать :)
Хотя, не это важно сейчас мне. Не результат этого задания, не ответ... Понять - главное сейчас.

Цитата:

Найденные точки у меня (1;4) и (-1;-4). Каким образом я должен увидеть, является ли она точкой касания, то есть, как вы сказали, является ли общей точкой?

Насколько я понял, ход решения примерно таков:

$y=12x-10$
$k=12$

$y=4x^3$
$k=12x^2$

$12x^2=12$
$x=1$; $x=-1$

$y=12x-10$
при $k=1$; $y=2$
при $k = -1$; $y=-22$

$y=4x^3$
при $k=1$; $y=4$
при $k = -1$; $y=-4$

$2 \ne 4$
$-22 \ne -4$

Поэтому ответ:
Не является

Верно?

[svv]

Fanday писал(а):

Но вопрос всё-таки остался:
Насколько я знаю, коэффициенты эти равны, когда прямые параллельны. На каком основании я их приравниваю?
...

Логика этого способа решения такая.

График функции $y=4x^3$ в каждой точке имеет некоторую касательную.
Мы хотим знать, совпадает ли прямая $y=12x-10$ с одной из этих касательных.
Если у двух прямых совпадают угловые коэффициенты И хотя бы одна точка является общей, прямые совпадают.

Производная $y'(x)$ равна угловому коэффициенту касательной в точке $(x, y(x))$.
Поэтому приравнивая $y'(x)=12x^2$ и $k=12$, мы ищем такие $x$, для которых хотя бы соответствующий угловой коэффициент касательной совпадёт с нужным.
Такие $x$ -- это $-1$ и $+1$. Для этих $x$ угловой коэффициент касательной в точке $(x, y(x))$ совпадает с $k$ нашей прямой.
Но это значит только, что они параллельны. Этого недостаточно для совпадения.
Чтобы проверить, совпадают ли они, мы проверяем, совпадут ли $y=4x^3$ и $y=12x-10$, если в них подставить этот $x$.
И если игреки совпадут, это и будет та хотя бы одна совпадающая точка. А если нет -- не повезло.

[Maslov]

Fanday в сообщении #562212 писал(а):

$y=12x-10$
при $k=1$; $y=2$
при $k = -1$; $y=-22$

Это как?
Наверное, все-таки имелось в виду
при $x=1$; $y=2$
при $x = -1$; $y=-22$

[Fanday]

Цитата:

Это как?
Наверное, все-таки имелось в виду

Ой, да-да, точно. Извините. Спутал просто. Думал об икс, писал k. А так верно, да?

Цитата:

Но это значит только, что они параллельны. Этого недостаточно для совпадения.
Чтобы проверить, совпадают ли они, мы проверяем, совпадут ли и , если в них подставить этот .
И если игреки совпадут, это и будет та хотя бы одна совпадающая точка. А если нет -- не повезло.

Вот этот момент многое объяснил (несмотря на то, что я не понял ваше (x,y(x)) ). Спасибо :)

[Maslov]

Fanday в сообщении #562226 писал(а):

А так верно, да?

А так, верно.

[arseniiv]

Fanday, $(x, y(x))$ означает просто какую-то точку, лежащую на графике функции $y(x)$.

[Fanday]

Большое спасибо за ответы :)