эволюта

[Nicolya Freshman]

Здравствуйте! Не могли бы Вы мне объяснить, почему особенности эволюты соответствуют экстремумам кривизны?

[Алексей К.]

Вот по-человечески сейчас не предложу объяснения, но пока выпишу накопленные формулы:

$$x_1=x-\sin\tau/k,\qquad y_1=y+\cos\tau/k,$$

где $x,y,\tau,k$ --- координаты, наклон касательной и кривизна. А с индексом 1 --- для эволюты. Из этого для неё у меня когда-то получилось

$$\tau_1=\tau-\frac{\pi}2\cdot\mathrm{sgn}\, k',\qquad k_1=\frac{k^3}{|k'|}$$

(видимо, это для натуральной параметризации): как только кривизна меняется с убывания на возрастание ($k'$ меняет знак), кривая резко поворачивается на 180 градусов: точка возврата.
Ну да, это формальное объяснение, мне его хватало обычно; может, с утра в выходной я смогу его изложить как-то "по-человечески". А может, Вас это удовлетворит. А может, кто-то сразу найдёт другие слова.

[Nicolya Freshman]

спасибо большое за помощь,сейчас попробую разобраться