Кольцо в магнитном поле

[motovanya]

Это задача в олимпиаде ТПУ. Я пробовал и получил диф.уравнение 2-ого порядка.Но думаю что, есть другое решение. А как вы думаете?
Вокруг вертикальной оси, проходящей через диаметр, быстро вращается тонкое металлическое кольцо в однородном магнитном поле с индукцией В. Ось вращения перпендикулярна индукции. Пренебрегая трением в оси, найти время, за которое угловая скорость вращения уменьшается в е раз. Известна плотность материала а кольца и удельное сопротивление b. Потенри энергии за один оборот считать малыми.

[TOTAL]

motovanya в сообщении #561877 писал(а):

Это задача в олимпиаде ТПУ. Я пробовал и получил диф.уравнение 2-ого порядка.Но думаю что, есть другое решение. А как вы думаете?

Мне кажется (школу закончил давно, за свои слова не ручаюсь ), что кинетическая энергия расходуется на нагрев. Т.е. записываем уравнение первого порядка и получаем, что искомое время $T$ пропорционально $ab$

[dovlato]

ЭДС, индуцирующееся в кольце

$$U=BS\omega \cos(\omega t)$$

Отсюда средняя за период выделяющаяся тепловая мощность

$$P=\frac{\overline {U^2}}{R}=\frac{(BS)^2}{R}\cdot \frac{\omega^2}{2}= - \frac{d}{dt}(J\cdot \frac{\omega^2}{2})$$

И наконец

$$\omega=\omega_0\cdot \exp(- \frac t{\tau}),$$

где $\tau = \frac{JR}{2(BS)^2}$
Осталось выразить переменные через данные в условии задачи.

[motovanya]

Я так не думаю,

$$U=Bs\omega\cos(\omega\ t )$$

угол

$$\alpha\ = (\omega\ t)$$

не прав, так как $\omega\ - функция времени, уравнение не так легко. А сложнее. вот почему Я говорил уравнение сложное, переменное это угол $\alpha\, не $\omega\

[hurtsy]

motovanya в сообщении #566565 писал(а):

А сложнее. вот почему Я говорил уравнение сложное, переменное это угол $\alpha$ , а не $\omega$

Сложность полученного уравнения зависит от "способа составления". В начальных курсах дифуров, при построении математической модели, предполагаются достаточно малые $\alpha$. Поэтому уравнение,
которое вы предлагаете, решать сложнее.

TOTAL в сообщении #562040 писал(а):

Мне кажется (школу закончил давно, за свои слова не ручаюсь ), что кинетическая энергия расходуется на нагрев. Т.е. записываем уравнение первого порядка и получаем, что искомое время $T$ пропорционально $ab$

Потенциальная энергия, как не зависящую от угла поворота, здесь можно не учитывать. Но ведь можно учитывать квантовую механику и получить уравнения посложнее. Почему ТС остановился, при достаточном упорстве( в смысле энергии ) можно и до хигсов добраться С уважением,

[ewert]

Вот честное дифференциальное уравнение. Если $\alpha=\alpha(t)$, то $U(t)=BS\,\alpha'(t)\,\cos\alpha(t)$. Мгновенная тепловая мощность $\dfrac{U^2(t)}{R}$ идёт на уменьшение кинетической энергии вращения:

$(\alpha'(t))^2\cdot\dfrac{B^2S^2}{R}\,\cos^2\alpha(t)=-\left(\dfrac{J(\alpha'(t))^2}{2}\right)',$

откуда $-\dfrac{d(\alpha'(\tau))^2}{(\alpha'(\tau))^2}=\dfrac{2B^2S^2}{JR}\,\cos^2\alpha(\tau)\,d\tau$ и, следовательно,

$-2\ln\dfrac{\alpha'(t)}{\alpha'(0)}=\int\limits_0^t\dfrac{2B^2S^2}{JR}\,\cos^2\alpha(\tau)\,d\tau.$

До сих пор всё было абсолютно точно; а теперь внимательно читаем условие задачи. Там в конце стоит фраза: "потери энергии за один оборот считать малыми"; наверное, это неспроста, хоть что-то это да значит?... А значит это в точности то, что на протяжении одного оборота $\alpha'(\tau)$ считается практически постоянной; ну и заодно косвенно то, что оборотов будет очень много. В совокупности из этого следует, что при интегрировании косинуса его можно заменить на среднее значение по периоду, т.е. на $\frac12$:

$-2\ln\dfrac{\alpha'(t)}{\alpha'(0)}=-2\ln(e^{-1})=\dfrac{B^2S^2}{JR}\,t,$

т.е. $t=\dfrac{2JR}{B^2S^2}.$

[nikvic]

ewert в сообщении #640354 писал(а):

Вот честное дифференциальное уравнение. Если $\alpha=\alpha(t)$, то $U(t)=BS\,\alpha'(t)\,\cos\alpha(t)$. Мгновенная тепловая мощность $\dfrac{U^2(t)}{R}$

А вот и дырка, скорее всего, не предусмотренная авторами: ток в кольце непропорционален эдс, и условия задачи недостаточны для решения даже при соблюдении малости относительного изменения скорости за оборот.

Ток как функция скорости ограничен из-за индуктивности.

[ewert]

nikvic в сообщении #642400 писал(а):

Ток как функция скорости ограничен из-за индуктивности.

Ну она ж тривиально нулевая -- кто-нибудь когда-нибудь реально измерял индуктивность одного витка (нет, именно реально, в сравнении со всем остальным)?...

Невозможно ж в условии перечислить буквально все умолчания. Скажем, скорость солнечного ветра, дующего в паруса Галактики (понятия не имею, что это такое, но что-то наверняка означает) -- совершенно точно не учтена. А вот все существенные факторы -- оговорены вполне аккуратно.

[nikvic]

ewert в сообщении #642695 писал(а):

nikvic в сообщении #642400 писал(а):

Ток как функция скорости ограничен из-за индуктивности.

Ну она ж тривиально нулевая -- кто-нибудь когда-нибудь реально измерял индуктивность одного витка (нет, именно реально, в сравнении со всем остальным)?...

Измерять ничего не нужно - все формулы доступны. Заметный эффект от сдвига фаз для кольца диаметром 5см из миллиметровой медной проволоки не потребует мегагерц. Индуктивность мала, но мало и сопротивление - а важно лишь их отношение.

Что хуже для принятой учебной "упрощёнки", именно индуктивность у короткозамкнутого ротора - причина провала момента на малых оборотах у промышленных двигателей. Т.е. явное противоречие практики и простой модели.

[ewert]

(Оффтоп)

nikvic в сообщении #642717 писал(а):

из миллиметровой медной проволоки не потребует мегагерц. Индуктивность мала, но мало и сопротивление - а важно лишь их отношение.

Так у меди вообще нет сопротивления (в учебных задачах), а тут по условию оно есть.

nikvic в сообщении #642717 писал(а):

причина провала момента на малых оборотах у промышленных двигателей. Т.е. явное противоречие практики и простой модели.

Тут я не компетентен и Вы, скорее, всего, правы (формально). Но ведь (уже по существу) задачка-то сугубо формальная, и все умолчания подразумеваются. В т.ч. и пренебрежимость индуктивности по сравнению с сопротивлением (в соотв. пересчёте, разумеется). Просто потому, что про сопротивление говорится прямым текстом.

[nikvic]

При проверке я бы не стал ругать за недостаточность решения. Однако при наличии даже намёка на связь индуктивности и тока поставил бы вопрос о начислении дополнительных баллов