Теорема об изменении кинетического момента твердого тела

[Oleg Zubelevich]

Имеется твердое тело массы $m$. Через $C$ обозначим его центр масс, $A$ -- некоторая фиксированная точка твердого тела.

Все величины векторные, векторные обозначения использовать не будем, к путанице это не приведет.

Теорема. Верна формула $J_A\dot\omega+[\omega,J_A\omega]+m[AC,\dot v_A]=M_A.$
(В правой части стоит момент внешних сил относительно точки $A$.)

Следствие. Предположим, что твердое тело катится без проскальзывания по неподвижной поверхности и $A$ -- точка твердого тела, которой оно касается поверхности. Тогда

$$J_A\dot\omega+[\omega,J_A\omega]-m[AC,[\omega,u]]=M_A,$$

где $u$ -- скорость точки контакта.
Это вытекает непосредственно из соответствующего результата [Татаринов, Кулешов, Попова, Прошкин Задачи по кинематике и динамике качения твердых тел. Москва 2011]

Доказательство теоремы. Стартуем с формул из учебника Ю.Ф. Голубева "Основы теор. механики":

$$K_A=m[AC,v_A]+J_A\omega,\quad \frac{\delta}{\delta t}K_A+[\omega,K_A]+m[v_A,v_C]=M_A,\qquad (*)$$

через $K_A$ обозначен кинетический момент тела относительно точки $A$; $\frac{\delta}{\delta t}$ -- относительная производная в системе координат жестко связанной с телом.
Имеем

$$\frac{\delta}{\delta t}K_A=m[AC,\frac{\delta}{\delta t}v_A]+J_A\dot\omega,\quad [\omega,K_A]=m[\omega,[AC,v_A]]+[\omega,J_A\omega]$$

Мы использовали, что $\frac{\delta}{\delta t}\omega=\dot\omega$.
Далее

$$\frac{\delta}{\delta t}v_A=\dot v_A-[\omega,v_A],\quad [v_A,v_C]=[v_A,[\omega,AC]]$$

Остается все это поместить во вторую формулу (*) и воспользоваться тождеством Якоби для векторного произведения. Теорема доказана.