Числа, кратные целой части своего кубического корня

[Ktina]

Сколько натуральных чисел, не превышающих 2012, кратны целой части своего кубического корня?

[hippie]

Ответ: 266.

$3(1+2+\dots+11)+4\cdot11+\left]\frac{2012-12^3}{12}\right[.$

[fizmatovets]

hippie, можна как-то решение написать, а не сам ответ?

[nnosipov]

Пусть $n$ --- натуральное число, не превосходящее $2012=12^3+284$, и $m=[\sqrt[3]{n}]$. Тогда $m^3 \leqslant n<(m+1)^3$. При фиксированном $m$ количество чисел $n$, удовлетворяющих этому двойному неравенству и делящихся на $m$, равно $3m+4$. Поэтому искомое количество равно

$$ \sum_{m=1}^{12-1} (3m+4)+\left[\frac{284}{12}\right]+1=266. $$