Нисходящие серии.

[sonny]

Задача из В. Феллера "Введение в теорию вероятностей и ее приложения", том2, мир 1984 год, гл.1, упр. 9.

Случайная величина N представлена, как единственный индекс, такой что $X_1\geqslantX_2\geqslant...\geqslantX_{N-1}<X_N$. Если $X_j$ распределены одинаково с непрерывной функцией распределения, то докажите, что $P(N=n)=(n-1)/n!$ и мат.ожидание $E(N)=e$.
(в указании сказано использовать метод решения задачи на рекордные значения из том.2 гл.1 пар.5)

Не уверен, что правильно решил:
Рассмотрим, например, показательное распределение. Я думал, что можно представить это дело как испытания Бернулли, с вер-ю появления большего значения (то есть вероятность успеха) в более поздних испытаний $p = \exp(-\alpha x)$. Получаем, что $P(N=n) = \int{p(1-p)^{n-1}(\alpha\exp(-\alpha x))dx}$, где $x\in[0,\inf]$.

[--mS--]

А где, собственно, решение? Требуется доказать некий факт для случайных величин с произвольными непрерывными распределениями. Вы доказываете для показательных, и при этом полностью игнорируете совет использовать метод из примера (а) параграфа 5. Доказательства, начиная со слов "можно представить", я не понимаю.

Сначала маленький вопрос. Для случайных величин из условия задачи каковы будут следующие вероятности: $\mathsf P(X_1 > X_2)$, $\mathsf P(X_2 > X_1)$, $\mathsf P(X_1 > X_2 > X_3)$, $\mathsf P(X_1 > X_3 > X_3)$, $\mathsf P(X_2 > X_3 > X_1)$, $\mathsf P(X_2 > X_1 > X_3)$, $\mathsf P(X_3 > X_2 > X_1)$, $\mathsf P(X_3 > X_1 > X_2)$?