Совместное распределение [Теория вероятностей]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые пользователи!
Плотность совместного распределения $\xi, \eta$ равна $ p_{\xi, \eta}(x,y)=C(x+y)I_{\{0\leq x \leq 1, 0\leq y<1\}}$. Найти постоянную $C$, одномерные плотности распределения $\xi, \eta$, плотность распределения $\zeta=\max(\xi, \eta).$
Вот моя попытка решения:
Найдем постоянную $C$.
Так как $\int \limits_{-\infty}^{+\infty}\int \limits_{-\infty}^{+\infty}p_{\xi, \eta}(x,y)dxdy=1$, то отсюда получаем следующее:
$\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{0}^{1}С(x+y)dxdy=1$
Вычисляя этот интеграл получаем, что $C=1$.
Теперь найдем одномерные плотности распределения $\xi, \eta$
Так как:
$p_{\xi}(x)=\int \limits_{-\infty}^{+\infty}p_{\xi,\eta}(x,y')dy'$ и $p_{\eta}(x)=\int \limits_{-\infty}^{+\infty}p_{\xi,\eta}(x,y')dy'$
Отсюда получаем, что:
$p_{\xi}(x)=p_{\eta}(x)=x+\frac{1}{2}$ при $x\in[0,1]$
Теперь найдем плотность распределения $\zeta=\max(\xi, \eta);$
Имеем:

$$F_{\zeta}(x)=P\{\zeta\leq x\}=P\{\max(\xi,\eta)\leq x\}=P\{\xi\leq x, \eta \leq x\}=P\{(\xi, \eta)\in(-\infty,x]\times (-\infty,x]\}=$$

$$=\int \limits_{-\infty}^{x}\int \limits_{-\infty}^{x}p_{\xi,\eta}(x',y')dx'dy'$$

Так как $F'_{\zeta}(x)=p_{\zeta}(x)$, тогда: $p_{\zeta}(x)=\int \limits_{-\infty}^{x}p_{\xi,\eta}(x,y')dy';$

При $x\in[0,1]$ получаем, что: $p_{\zeta}(x)=\int \limits_{0}^{x}p_{\xi,\eta}(x,y')dy'=\int \limits_{0}^{x}(x+y')dy'=\frac{3x^2}{2}$

А в книге написано, что $p_{\zeta}(x)=3x^2$
Уже несколько десятков раз проверил свое решение вроде бы никаких ошибок не нахожу. Скажите пожалуйста, где я ошибся?

С уважением, Whitaker.

[--mS--]

Whitaker в сообщении #560577 писал(а):

$$F_{\zeta}(x)=\ldots = \int \limits_{-\infty}^{x}\int \limits_{-\infty}^{x}p_{\xi,\eta}(x',y')dx'dy'$$

Так как $F'_{\zeta}(x)=p_{\zeta}(x)$, тогда: $p_{\zeta}(x)=\int \limits_{-\infty}^{x}p_{\xi,\eta}(x,y')dy';$
Скажите пожалуйста, где я ошибся?

Вот ровно в последней фразе. Если бы внутренний интеграл от $x$ не зависел, производная по верхнему пределу равнялась бы ему почти всюду. А поскольку он от $x$ зависит, производная будет равняться

$$p_\zeta(x) = \int_{-\infty}^x p_{\xi,\eta}(x,y')dy' + \int_{-\infty}^x p_{\xi,\eta}(x',x)dx'$$

(легко ищется по определению производной - приращение интеграла на отрезке $[x,x+\Delta]$ есть интеграл по рамочке толщиной $\Delta$, обрамляющей уголок $x'<x, y'<x$, он разбивается на три интеграла, третий есть $o(\Delta^2)$, первый и второй при делении на дельта дадут в пределе вот эти два).
Но лучше честно вычислить функцию распределения и продифференцировать. Функция же $3x^2/2$ плотностью на $[0,1]$, конечно, быть не может.

[Whitaker]

--mS--
Большое спасибо Вам! Я понял действительно где у меня ошибка.
Еще раз спасибо!