2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Равномерная непрерывность функции
Сообщение06.01.2007, 21:49 


02/08/06
63
При каких значения $a$ функция $y=\sin(x^{a})$ равномерно непрерывна?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2007, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Я так понимаю, речь идет о равномерной непрерывности на $(0;+\infty)$.
А где Ваши собственные идеи? Это несложная задача.
Для начала вспомните определение равномерной непрерывности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение06.01.2007, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
икс и грек писал(а):
При каких значения $a$ функция $y=Sin(x^{a})$ равномерно непрерывна?
Вопрос не имеет смысла без указания множества, на котором функция должна быть равномерно непрерывна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2007, 22:29 


02/08/06
63
Я думаю, нужно рассмотреть разность $|sin(x^a)-sin(z^a)|=2*|cos((x^a+z^a)/2)|*|sin((x^a-z^a)/2)|<=2*1*$
$*|sin((x^a-z^a)/2)|<=2*|x^a-z^a|/2=|x^a-z^a|$.
Если $|x^a-z^a|<\delta\  \forall \delta>0$, то и $|sin(x^a)-sin(z^a)|<\delta$, т.е. функция равномерно непрерывна на $R$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2007, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
икс и грек писал(а):
Если $|x^a-z^a|<\delta\  \forall \delta>0$, то и $|sin(x^a)-sin(z^a)|<\delta$, т.е. функция равномерно непрерывна на $R$

Я слегка не понял эту фразу.

P.S. Прошу прощения. Выше я написал глупость. Функция не определена на всем $\mathbb{R}$ (при некоторых значениях $a$). Поправил свое сообщение. Поэтому прежде всего стоит ответить на замечание Brukvalubа

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2007, 09:39 


02/08/06
63
Да, последняя фраза неверна. Давайте рассматривать равномерную непрерывность на $(0,+\infty)$. Тогда определение запишется так: если $\forall \epsilon>0\  \exists \delta(\epsilon)>0 : \forall x,z>0 : |x-z|<\delta \ |sin(x^a)-sin(z^a)|<\epsilon$, то функция равномерно непрерывна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2007, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
икс и грек писал(а):
Да, последняя фраза неверна. Давайте рассматривать равномерную непрерывность на $(0,+\infty)$. Тогда определение запишется так: если $\forall \epsilon>0\  \exists \delta(\epsilon)>0 : \forall x,z>0 : |x-z|<\delta \ |sin(x^a)-sin(z^a)|<\epsilon$, то функция равномерно непрерывна.
-здесь тоже неплохо бы добавить логическую связку между двумя последними высказываниями|x-z|<\delta ??? \ |sin(x^a)-sin(z^a)|<\epsilon

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2007, 14:12 


02/08/06
63
Если из $|x-z|<\delta$ следует, что $|sin(x^a)-sin(z^a)|<\epsilon$, то функция равномерно непрерывна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2007, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Все хорошо, осталось найти все а, и задача решена!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2007, 19:56 


21/10/06
24
Цитата:
"икс и грек"]Если из $|x-z|<\delta$ следует, что $|sin(x^a)-sin(z^a)|<\epsilon$, то функция равномерно непрерывна.


$ |sin(x^a)-sin(x^b)| = |2*cos((x^a+y^a)/2)*sin((x^a-y^a)/2)| \approx   2*|sin((x^a-y^a)/2)| \approx  a* \theta^{a-1} *|x-y| \approx  a*\delta * \theta^{a-1},  \theta \in [x,y] $

Другими словами, если а больше единицы, то всегда можно взять икс и игрек достаточно далеко и равноменой непрерывности не будет, если же меньше, то будет плохо около нуля, насколько плохо - видимо можно оценить рассмотрев разложение синуса в ряд Тейлора в нуле.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2007, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Дядя Фёдор писал(а):
Другими словами, если а больше единицы, то всегда можно взять икс и игрек достаточно далеко и равноменой непрерывности не будет, если же меньше, то будет плохо около нуля, насколько плохо - видимо можно оценить рассмотрев разложение синуса в ряд Тейлора в нуле.
-если а положительно, то функция $sin(x^a)$непрерывна в нуле, и тогда она, по теореме Кантора, равномерно непрерывна на любом отрезке с левым концом в нуле , поэтому Ваше замечание, вообще говоря, неверно, и проблемы в нуле начнутся только для отрицательных а.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2007, 23:09 


25/06/06
13
Оренбург
В принципе, при неотрицательном альфа она равномерно непрерывна и от 0 до плюс бесконечонсти. При отрицательном альфа она не будет равномерно непрерывной в данной области.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2007, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
APTEM писал(а):
В принципе, при неотрицательном альфа она равномерно непрерывна и от 0 до плюс бесконечонсти. При отрицательном альфа она не будет равномерно непрерывной в данной области.
- при а>1 равномерной непрерывности не будет, и я так и не понял, в каком принципе?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2007, 00:57 


25/06/06
13
Оренбург
Да, верно, я ошибся, и "в принципе" можно также считать еще одной моей ошибкой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2007, 14:09 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
А еще можно так: при $a\in (0,1]$ функция равномерно непрерывна на $[0,\infty)$ как композиция двух равномерно непрерывных.

Про случай $a>1$ хотел написать "для любого $\delta>0$ легко подобрать такие $y,y'$, что...", но в действительности их не так уж легко подобрать, в две строчки не уместилось. Хотя из неограниченности производной они несложно находятся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group