Применение т. Коши для вычисления интеграла

[Bug]

В одной книге наткнулся, на следующее:

$$ g(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^2} e^{-i \lambda x} \; dx $$

И что в силу т. Коши этот интеграл не изменит своего значения, если его взять вдоль любой прямой $ z = x + iy (y = const) $, параллельной действительной оси:

$$ g(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a (x+iy)^2} e^{-i \lambda (x+iy)} \; dx $$

Так вот, что-то я никак не пойму причем тут т.Коши.
Помогите разобраться с этим!

[Brukvalub]

Постройте замкнутый контур- прямоугольник, две стороны которого являются горизонтальными отрезками прямых $ z = x + iy (y = const) $ с разными у, тогда интеграл по этому контуру для рассматриваемой функции по т. Коши будет =0, а затем отодвигайте вертикальные стороны контура в бесконечность- все получится

[Bug]

Я думал, про такую возможность (правда я рассматривал треугольный контур), но сомневался можно ли контур растягивать в бесконечность.

[RIP]

Bug писал(а):

Я думал, про такую возможность (правда я рассматривал треугольный контур), но сомневался можно ли контур растягивать в бесконечность.

В данном случае это законно, поскольку (несобственные) интегралы по горизонтальным прямым сходятся (даже абсолютно), а интегралы по вертикальным сторонам прямоугольника стремятся к нулю, когда их отодвигают на бесконечность.