Прогрессия

[икс и грек]

Найти десятичленную возрастающую арифметическую прогрессию, состоящую из простых чисел, последний член которой есть наименьшее возможное при этих условиях число.

[juna]

Если обозначить кусок этой арифметической прогрессии $(n,p_1,d)$, где $n$ -количество членов, $p_1$ - первый член (простое число), $d$ - разность арифметической прогресии.
Минимальные решения для различных $n$:
(4,5,6);
(5,5,6);
(6,7,30);
(7,7,150);
(8,199,210);
(9,199,210);
(10,199,210).

[незваный гость]

Существует. См. A122764: $110437 + 13860 k$.
Там же дана ссылка на работу: Ben Green and Terence Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions

А вот с геометрическими прогрессиями среди простых плохо.

[stricken-out]P.S. Есть еще один куплет: строго говоря, не очевидно, что приведенные результаты правильные. Поскольку в вопросе была ар. прогрессия с наименьшим последним членом, а все приведенные — с наименьшим первым членом. То есть, существование-то сохранится (и результат, как граница сверху на последний член и шаг, и снизу на первый член), а вот числа могут поплыть. Но это уже совсем скучно… (A005115, ответ 2089.)[/stricken-out]

P.P.S. Артамонов Ю.Н.: Вы, по-моему, на один ошиблись. Из трех наименьшая последовательность $3, 5, 7$, или, в Вашей записи: $(3, 3, 2)$. Далее: $(4, 5, 6)$, $(5, 5, 6)$,… Так что, пример прогрессии Вы-таки предъявили.

[juna]

Да, сам первый член $p_1$ я забыл посчитать. Поправил.

[незваный гость]

Вопрос: для какого первого $n$ $n$-членная возрастающая ар. прогрессия с наименьшим первым членом не совпадет с ар. прогрессией с наименьшим последним членом?

[juna]

Ясно, что это может случиться, если проводить вычисления в области $p_1<<d$. Например, это случится для $n=8$ - имеем такие решения (8, 17, 6930) и (8, 199, 210). Первое с меньшим первым членом и большим последним.
Но рассматривать с минимальным первым членом нет смысла, т.к. мы не можем гарантировать, что не спустимся до $p_1=3$ - ведь впереди целая бесконечность.

[незваный гость]

Вы опять ответили на вопрос. Спасибо!

На самом деле, (3, 3, 2) очевидно наименьшая для $n = 3$. При $n = 4, 5$ $p_1$ не может быть меньше 5 — иначе проблемы с делимостью на 3. То же самое при $n = 6, 7$ — только здесь уже участвует еще и делимость на 5. Пример для 8 Вы привели. Таким образом, $n = 8$ — наименьшая длина прогрессии, для которой есть расхождение. А вот чему равно $p_1$ я не спрашивал . Можно попробовать поискать примеры для $p_1 = 11, 13$, но это уже на любителя.

Добавлено спустя 29 минут 35 секунд:

(8, 11, 1210230), по-видимому, первое такое расхождение в обоих смыслах — и наименьшее $n$, и наименьшее $p_1$.

[Tarsik]

Подскажите пожалуйста решение следущей задачи.
Могут ли числа $\frac {1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5}$ быть членами (не обязательно соседними) одной арифметической прогресии?
Я рассматриваю прогрессию в порядке возрастания. Нужно найти разность прогресии.Разница между первым и вторым членом равна $\frac {2}{15}$, а между вторым и третьим $\frac {1}{6}$.Как мне этим воспользоватся?

[ИСН]

Задайтесь вопросом, а в каком случае три числа (неважно, какие именно) не могут быть таким членами.
Там слово "иррациональность" всплывёт.

[Tarsik]

Наверно если записать первий член $a$, второй $a+nd$. третьий $a+md$.то n и m должны бить целими числами. То может отношене должно быть рациональным числом...
то есть $\frac {m}{n}$ не должно быть иррациональным..

[ИСН]

Вот-вот.

[Tarsik]

В нашем случае $\frac {m}{n}=\frac{5}{6}$Тогда можна вычислить разность прогресии подставив значения $5$ и $6$ вместо $m$ и $n$. Разность тогда будет равна $\frac{1}{30}$

[maxal]

Рекорды в области арифметических прогрессий из простых чисел представлены на этом сайте:
Primes in Arithmetic Progression Records