Нахождение предела средствами теории вероятностей

[radiusR]

Здравствуйте! Возникли проблемы с нахождением следующего предела:

$$\lim_{n\to\infty}p^{n}\sum_{k \geqslant{n(p^{-1}-1)}}^{\infty}C_{n+k-1}^{n-1}(1-p)^{k}.$$

Предел находится с помощью центральной предельной теоремы.
Ясно, что выражение под знаком суммы связано со случайной величиной с биномиальным распределением, но смущает бесконечная сумма, да и само применение теоремы становится проблемой. Заранее спасибо!

[_hum_]

Может, сперва, заменой переменных к удобоваримому для ТВ виду привести, чтобы в сумме в явном виде участвовали биномиальные вероятности $P_{m,N} = C_{N}^m p^m q^{N - m}$?

[radiusR]

Тогда делаем замену:

$$N=n+k-1, \ m=n-1$$

И выражение примет вид:

$$\lim_{n\to\infty}p\sum_{N \geqslant{(m+1)p^{-1}-1}}^{\infty}C_{N}^{m}p^{m}(1-p)^{N-m}.$$

[_hum_]

А что такое $n$ в результирующем выражении? Че-то не то.

Но, вообще, идея такая. Можно рассмотреть независимые бернулиевские с.в. $\xi_i, i = 1,...,N$, принимающие значение 1 с вероятностью $p$ и значение 0 с вероятнсотью $1 - p$. Их сумма $S_N = \xi_1 + \xi_2 + \dots + \xi_N $ будет случайной величиной, принимающей значения $m$ от 0 до $N$. Ее математическое ожидание $\mathbf{E}S_N = Np$.
Тогда сумму наподобие вашей, можно попробовать расписать через вероятности:
\begin{multline*}\sum_{N \geqslant{(m+1)p^{-1}-1}}C_{N}^{m}p^{m}(1-p)^{N-m} = \sum_{m \leqslant Np - (1-p) }\mathbf{P}(S_N = m) =\\\mathbf{P}\big(S_N \leqslant Np - (1-p)\big) = \mathbf{P}\big(S_N \leqslant \mathbf{E}S_N - (1-p)\big) .\end{multline*}
Ну, и далее воспользоваться предельными законами для сумм независимых с.в..

[--mS--]

У ТС вероятность про сумму величин с геометрическим распределением $\mathsf P(\xi_i=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k\geqslant 1$. Так называемое "отрицательное биномиальное распределение", со сдвигом.

[radiusR]

Спасибо большое, помогли разобраться!