Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда.

[Иван_85]

Проверьте пожалуйста, правильно ли я решил? Можно ли проще?
Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.
$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n^2+5}{5^n}\left(x+5\right)^n$.

$R=\frac{1}{\rho}$,
$\rho=\overline{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}\rho_n=\overline{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{\left|{a_n}\right|}=\overline{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{\frac{n^2+5}{5^n}}=\frac{1}{5}\overline{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{n^2+5}$.

Найдем предел $\overline{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{n^2+5}$.
$\overline{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{n^2+5}=1+\alpha_n$, $\alpha_n>0$;
$n^2+5=1+n\alpha_n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}\alpha_n^2+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}\alpha_n^3+...+n\alpha_n^{n-1}+\alpha_n^n>\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}\alpha_n^3$
$\Rightarrow \alpha_n<\sqrt[3]{\frac{6\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{n\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}}\rightarrow 0$
$\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$
$\Rightarrow \overline{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{n^2+5}=1$
$\Rightarrow R=\frac{1}{\rho}=5$.
$\left|x+5\right|<R=5$. Отсюда получаем интервал сходимости:$\left(-10;0\right).$
Теперь исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
Пусть $x=0$. Тогда $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n^2+5}{5^n}\left(x+5\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty \left(n^2+5\right)$. Этот ряд очевидно расходится - не выполнено необходимое условие сходимости ряда.
Пусть $x=-10$.В этом случае почти аналогично. Ряд расходится.
Ответ: Промежуток сходимости исходного ряда представляет собой интервал $\left(-10;0\right)$;
$R=5$.

[Dave]

Лучше сразу было начать с необходимого условия сходимости ряда и рассмотреть отдельно случаи, когда $\left|\frac x 5 + 1\right|$ меньше, равен или больше $1$.

[Иван_85]

Dave в сообщении #558717 писал(а):

Лучше сразу было начать с необходимого условия сходимости ряда и рассмотреть отдельно случаи, когда $\left|\frac x 5 + 1\right|$ меньше, равен или больше $1$.

Необходимое условие сходимости даст только то, что интервал сходимости (если он существует) принадлежит интервалу $\left(-10;0\right)$. Для того чтобы конкретно найти интервал сходимости все равно придется искать радиус сходимости стандартным образом.

[Dave]

Если $|q|<1$ и $s=\sqrt {|q|}<1$, то $|(n^2+5)q^n|=(n^2+5)s^n \cdot s^n$. Последовательность $a_n=(n^2+5)s^n$ - бесконечно малая. Значит исходный ряд мажорируется (по модулю) сходящимся рядом $\sum\limits_{n=0}^{\infty} s^n$, т.е. и сам сходится абсолютно.

[Иван_85]

Dave, спасибо. Все понял.