Треугольная призма

[Keter]

Дана прямая треугольная призма $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$. $AA_{1} = h$, $\angle ABC = 90^{\circle}$, $\angle BAC=\alpha$. Проведена биссектриса $AK$ к стороне $BC$, причем $AK=B_{1}K$. Найти площадь сечения $B_{1}AK$ и объём призмы. Ответ дать в величинах, которые даны $(h, \alpha)$

[Keter]

Решил вроде. Ответы:

$V = 0,5 h^3 \tg \alpha$ объём призмы

$S = \sqrt{h(\frac{2}{1+\cos \alpha}-0,5)}$ площадь сечения $AKB_{1}$

[gris]

Соображения размерности. Площадь сечения должна быть пропорциональна $h^2$, а не $\sqrt h$.

[slavent]

Все верно: в площадь должен входить линейный размер в квадрате.
Из $ABK$: $BK=AK\sin\alpha/2$
Из $KBB_1$: $BK^2=AK^2-h^2$
Прировняли: $AK^2-h^2=AK^2\sin^{2}\alpha/2$
поскольку $0<\alpha<90$ имеем
$AK=\frac{h}{\cos{\alpha/2}}$

Из $ABK$: $AB=h$
Из $ABB_1$: $AB_1=h\sqrt{2}$

Если нигде не ошибся в преобразованиях, то площадь сечения по формуле Герона должна быть такая
$S_{AKB_1}=\frac{h^2}{8\cos^{3}{\frac{\alpha}{2}}}\sqrt{2-\cos^{2}{\frac{\alpha}{2}}}$

Ну и с объемом проблем не должно быть

[Keter]

Я так рассуждал:

1) Рассмотрим треугольники $AKB$ и $B_{1}KB$, они равны по гипотенузе и катету($AK=B_{1}K, BK-$общая).
Значит $AB=BB_{1}=h$.
Из треугольника $AKB$ $AK=\frac{h}{\cos \alpha / 2}=\frac{h \sqrt{2}}{\sqrt{\cos \alpha + 1}}$
2) Достроим $KH$ перпендикулярно $AB_{1}$. $AH=AB_{1}/2=\frac{h \sqrt{2}}{2}$
Тогда из треугольника $AKH$ $KH=\sqrt{{AK}^2 - {AH}^2}=\sqrt{\frac{2 h^2}{\cos \alpha + 1} - h^2 /2}$
$KH=h \sqrt{\frac{2}{1+ \cos \alpha} - 0,5}$
3) $S_{AKB_{1}}=1/2 \cdot HK \cdot AB_{1}=\frac{h \sqrt{2}}{2} \cdot h \sqrt{\frac{2}{1+ \cos \alpha} - 0,5}$

$S_{AKB_{1}}=h^2 \sqrt{\frac{1}{1 + \cos \alpha} - 0,25}$

4) Из треугольника $ABC$ $BC=\tg \alpha \cdot h$
$V=h \cdot S_{ABC} = h \cdot 1/2 h \cdot \tg \alpha \cdot h$

$V = \frac{h^3 \tg \alpha}{2} $

-- 10.04.2012, 22:33 --

Маленькая ошибочка вышла с площадью