Устойчивость орбит по Ляпунову

[Taus]

Исходная постановка задачи:
Необходимо найти такие $\alpha$ и $n$, что замкнутая орбита (т.е. окружность) в поле $\alpha r^n$ будет устойчива по Ляпунову.

Собственные попытки:
Понятно, что есть 2 случая, когда существует орбита в виде окружности $n > 0$ и $\alpha > 0$, и $n \in (-2,0)$ и $\alpha < 0$.
Нужно оценить $\|\vec{r_1(t)} - \vec{r_0}\|^2 = \left|r_1^2(t) + r_0^2 - 2r_1(t)r_0\cos(\omega t - \varphi_1(t))\right|$, где $r_0$ -- радиус окружности, $\omega$ -- частота вращения по этой окружности.
Хорошо выразить $\alpha$ через $r_0$ -- $U(r) = \dfrac{2\gamma}{nr_0^n} r^n$, где $\gamma = \dfrac{M^2}{2mr_0^2}$ И введение безразмерной переменной $r(t) = r_0 x(t)$.
Всё свелось к исследованию уравнения:

$$\begin{cases} \ddot{x} = -\Omega^2\,\dfrac{x^{n+2}-1}{x^3}, \Omega^2 = \dfrac{2\gamma}{mr_0^2}\\ \dot{x}(0) = 0 \\ x(0) = 1 + \delta, \delta \ll 1 \end{cases}$$

$\delta$ -- возмущение, которое хотим выразить через $\varepsilon$ в определении устойчивости по Ляпунову. $\|\vec{r_1}(t) - \vec{r_0}\|^2 = r_0^2\left|x(t)^2 + 1 - 2x(t)\cos\left(\omega t - \varphi_1(t)\right)\right|$, где $\omega = \dfrac{2\gamma}{M}$, $\varphi_1(t) = \dfrac{2\gamma}{M}\int\limits_0^t \dfrac{1}{x^2(t)}\, dt$
Пытался решать уравнение по теории возмущений, но при $\delta^k$ для $k \leq 3$ появляются секулярные члены. Сами коэффициенты $C_k(n)$, стоящие перед ними, я не исследовал.
Верно ли, что если они будут равны нулю, то решение будет устойчивым? (предполагаю, что можно показать, что $\varphi_1(t)$ мало отличается от $\omega t$)

[Oleg Zubelevich]

пишем лагранжиан в полярных координатах, понижаем порядок по Рауссу, разглядываем минимумы эффективного потенциала

[Taus]

Oleg Zubelevich в сообщении #558041 писал(а):

пишем лагранжиан в полярных координатах, понижаем порядок по Рауссу, разглядываем минимумы эффективного потенциала

Минимум эффективного потенциала и разглядываем. У меня $p_\varphi = M$. И уравнение получается тоже самое, конечно же.

P.S. В этом случае не получится использовать знания о собственных числах линеаризованного уравнения, так как они всегда чисто мнимые.

[Oleg Zubelevich]

Taus в сообщении #558049 писал(а):

И уравнение получается тоже самое, конечно же.

Конечно же надо взять учебник и образоваться. Например, Татаринов Лекции по классической динамике.

Taus в сообщении #558049 писал(а):

В этом случае не получится использовать знания о собственных числах линеаризованного уравнения, так как они всегда чисто мнимые.

а Вы что хотели получить в гамильтоновой системе, асимптотическую устойчивость?

[Taus]

Oleg Zubelevich в сообщении #558057 писал(а):

а Вы что хотели получить в гамильтоновой системе, асимптотическую устойчивость?

Ничего нельзя сказать, к сожалению, об устойчивости нелинейного уравнения, если собственные числа линеаризованной системы чисто мнимые.

Oleg Zubelevich в сообщении #558057 писал(а):

Конечно же надо взять учебник и образоваться. Например, Татаринов Лекции по классической динамике.

Вы хотите увидеть эти уравнения?

$$\begin{cases} -m\ddot{r}+\dfrac{p_\varphi}{mr^3} - \alpha n r^{n-1} = 0 \\ \dot{\varphi} = \dfrac{p_\varphi}{mr^2} \end{cases}$$

[Oleg Zubelevich]

Taus в сообщении #558062 писал(а):

Ничего нельзя сказать, к сожалению, об устойчивости нелинейного уравнения, если собственные числа линеаризованной системы чисто мнимые.

хорошо, что Вы это понимаете

Вычислите эффективную потенциальную энергию, ее изолированным минимумам (и только им) и соответствуют устойчивые решения с круговыми орбитами

[Taus]

Oleg Zubelevich в сообщении #558084 писал(а):

Вычислите эффективную потенциальную энергию, ее изолированным минимумам (и только им) и соответствуют устойчивые решения с круговыми орбитами

Мне это и нужно доказать. Фактически нужно доказать теорему Лагранжа об устойчивости равновесия.

[Oleg Zubelevich]

Странное задание. Теорема Лагранжа тривиально следует из теоремы Ляпунова об устойчивости: полная энергия является функцией Ляпунова. Но в данной задаче исследуется устойчивость не положения равновесия, а стационарного решения, это более тонкая ситуация и используется здесь не теорема Лагранжа, а теорема Раусса-Сальватори.

[Taus]

Oleg Zubelevich, спасибо за помощь. Наверно, нашёл то, что требуют.

[Taus]

Oleg Zubelevich в сообщении #558111 писал(а):

Странное задание. Теорема Лагранжа тривиально следует из теоремы Ляпунова об устойчивости: полная энергия является функцией Ляпунова. Но в данной задаче исследуется устойчивость не положения равновесия, а стационарного решения, это более тонкая ситуация и используется здесь не теорема Лагранжа, а теорема Раусса-Сальватори.

Вообще говоря, теорема Рауса-Сальватори говорит об орбитальной устойчивости, а не об устойчивости по Ляпунову. Поэтому решать нужно по-другому. Немного позднее выложу свои новые наработки.

[Oleg Zubelevich]

Taus в сообщении #558413 писал(а):

Вообще говоря, теорема Рауса-Сальватори говорит об орбитальной устойчивости

читайте учебник: Болотин Карапетян Кугушев Трещев Теор. механика

Taus в сообщении #558413 писал(а):

Немного позднее выложу свои новые наработки.

Ну как Вам это объяснить. Ваши наработки... Банальная учебная задача. Наработки Ваши я уже видел:Сначала Вы пробовали устойчивость решения установить по первому приближению -- это в гамильтоновой-то системе! Потом почему-то на теорему Лагранжа ссылались, когда она только частичную устойчивость дает в данном случае. Так, что до "своих новых наработок" Вам еще далеко, сначала надо стандартным аппаратом овладеть.

[Taus]

Oleg Zubelevich, скажите ответ тогда. Так как ответ уже известен мне.

[Oleg Zubelevich]

Ну ведь я уже объяснил Вам как решать. Пусть $(r,\psi)$ -- полярные координаты, будем считать, что масса точки равна 1.
Тогда интеграл момента импульса будет $r^2\dot\psi =c$ отсюда приведеный потенциал

$$V_c(r)=\frac{c^2}{2r^2}+\alpha r^n$$

а минимумы у этой функции при разных значениях параметров уж сами ищите