Задачи на рекордные значения (В.Феллер)

[eugenedobro]

1)
Пусть $X_0$ - время моего ожидания (или размер финансовых потерь) некоторого события. Пусть, мои друзья подвергли себя тому же опыту и $X_1, X_2, ...$ - их результаты. $X_0, X_1, ...$ независимые случайные величины с одинаковым распределением(предлагается рассматривать показательное).
Задаемся вопросом как много времени должно пройти, прежде чем один из друзей испытает большую неудачу, чем я. То есть, вводится время ожидания $N$ как значение первого индекса n такого, что $X_n > X_0$ и событие {N > n-1} происходит тогда и только тогда, когда $\max{\{X_0, X_1, ..., X_{n-1}\}} = X_0$. Вер-ть этого события равна $\frac{1}{n}$.
Событие $\{N = n\} = \{N>n-1\} - \{N>n\}$ следовательно $P(N=n) = \frac{1}{n(n+1)}$
Тот же результат можно получить используя непосредственное определение вероятности как (n+1)-кратный интеграл от $\alpha^{n+1}\exp(-\alpha(x_0+...+x_n))$ по области, определенной неравенствами $0<x_0<x_n, 0<x_j<x_0$ при j = 1, ..., n-1
Задача: показать, что вероятность появления первого рекордного значения на n-м месте, не превосходящего x, равна $\frac{1}{n(n+1)}(1-\exp(-\alpha{x}))^{n+1}$ и док-ть, что распределение вероятностей первого рекордного значения есть $1 - (1 + \alpha x)\exp(-\alpha x)$
Еще предлагается доказать это для случая, когда $X_j$ имеют произвольное непрерывное распределение F.

2)
Нисходящие серии:
Случайная величина N распределена как единственный индекс, такой, что $X_1 \geqslant X_2 \geqslant ... \geqslant X_{N-1} < X_N $. Если $X_j$ имеют одинаковое распределение, то доказать, что $P(N=n) = \frac{(n-1)}{n!}$ и $E(N) = e$


1) В указании к решению сказано, что если $X_0 = x$ то вероятность большего значения в следующих испытаний $p = \exp(-\alpha x)$ (?)
От сюда следует, что мы получили последовательность испытаний Бурнулли с вероятностью успеха p. Вероятность $P(N=n) = \int(p(1-p)^{n-1}p_X(x))dx$ в пределах от 0 до $+\inf $.
$\int(p(1-p)^{n-1}\alph\exp(-\alpha x))dx = \frac{1}{n(n+1)}$
Ну а вероятность появления первого рекордного значения на n-м месте не превосходящего x $P(N=n<x) = \int \int p(1-p)^{n-1}\alpha\exp(-\alpha y)\alpha \exp(-\alpha t)dtdy = \frac{1}{n(n+1)}(1-\exp(-\alpha x))$
($0<t<x, 0<y<+\inf$) Надеюсь как-то так?
Не очень понятно как искать распределение вероятностей первого рекордного значения?

Заранее благодарю за помощь.