Многочлены

[Arcanine]

1. Дано квадратное уравнение: $x^2-4x+1=0.$ Доказать, что, если $x_{1},x_{2} - $ его корни, то $x_{1}^5+x_{2}^5 - $ целое число. Найти это число.

(Оффтоп)

Может как-то использовать тот факт, что $x_{1}+x_{2}=4?$

2. Пусть $\alpha,\beta,\gamma - $ корни уравнения $x^3-x^2-5x+1=0.$ Доказать, что определитель $\delta=\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & \alpha & \beta \\ \beta & \gamma & \alpha \end{vmatrix} \qquad$ является целым числом и найти это число.

[LaTeXScience]

Arcanine в сообщении #557483 писал(а):

Может как-то использовать тот факт, что $x_{1}+x_{2}=4?$

Да. $x_{1}^5+x_{2}^5$ можно выразить через $x_{1}+x_{2}$ используя равенства $x_{1}^2-4x_1+1=0$ и $x_{2}^2-4x_2+1=0$.

[Edward_Tur]

http://ru.wikipedia.org/wiki/Симметрический_многочлен

[мат-ламер]

У Виленкина была книга типа "Симметрия в алгебре" (могу ошибиться в названии).

[Praded]

Arcanine
СчитАете определитель и нахОдите, что $\delta=\alpha ^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3=...$, ибо $\alpha,\beta,\gamma$ - корни уравнения по условию.

[Shadow]

1. Индукция $x_1^n+x_2^n$ целое

[Praded]

Решил я добить 2-ю задачу.
Задано кубическое уравнение $x^3-x^2-5x+1=0$, корни которого $\alpha,\beta,\gamma $.
По теореме Виета для кубического уравнения $\alpha+\beta+\gamma=1,\quad\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=-5,\quad\alpha\beta\gamma=-1$.
Имеем $\delta=\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & \alpha & \beta \\ \beta & \gamma & \alpha \end{vmatrix}=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma$. Так как $\alpha^3=\alpha^2+5\alpha-1,\quad\beta^3=\beta^2+5\beta-1, \quad\gamma^3=\gamma^2+5\gamma-1$, то $\delta=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma=\left(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\right)+5\left(\alpha+\beta+\gamma\right)-3-3\alpha\beta\gamma=\\=\left[\left(\alpha+\beta+\gamma\right)^2-2\left(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma\right)\right]+5\left(\alpha+\beta+\gamma\right)-3-3\alpha\beta\gamma=\\=1^2-2\cdot(-5)+5\cdot1-3-3\cdot(-1)=16.$

[Praded]

А потом решил добить и 1-ю задачу.
Задано квадратное уравнение $x^2-4x+1=0$. Пусть корни этого уравнения $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета для квадратного уравнения имеем $x_1+x_2=4,\quad x_1x_2=1$. Тогда можно записать
$x_1^5+x_2^5=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^4-x_1^3x_2+x_1^2x_2^2-x_1x_2^3+x_2^4\right)=\left(x_1+x_2\right)\left[x_1^4+x_2^4-x_1x_2\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1^2x_2^2\right]=\\=\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2x_1^2x_2^2-x_1x_2\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1^2x_2^2\right]=\\=\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1^2+x_2^2\right)\left(x_1^2+x_2^2-x_1x_2\right)-x_1^2x_2^2\right]=\\=\left(x_1+x_2\right)\left[\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right)-\left(x_1x_2\right)^2\right]=\\=4\left[\left(4^2-2\cdot1\right)\left(4^2-3\cdot1\right)-1^2\right]=724$.