Интегралы и предел

[Arcanine]

$1. \lim\limits_{x\to 0} (\int\limits_0^x \sin (t^2)\,dt)/x^3$
Тут как я понимаю можно применить Лопиталя.
$2. \int\limits_5^6 e^{(x-5)^2}\,dx-\int\limits_{-4}^{-3} e^{(x+3)^2}\,dx$
$3. \lim\limits_{n\to \infty} (\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{n}{(n+1)!})$

[ewert]

Arcanine в сообщении #557355 писал(а):

$2. \int\limits_5^6 e^{(x-5)^2}\,dx-\int\limits_{-4}^{-3} e^{(x+3)^2}\,dx$

Замены.

Arcanine в сообщении #557355 писал(а):

$3. \lim\limits_{n\to \infty} (\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{n}{(n+1)!})$

$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{n}{(n+1)!}=\frac{2}{2!}+\frac{3}{3!}+...+\frac{n+1}{(n+1)!}-(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{(n+1)!})$

[Arcanine]

2. $=-\int\limits_{-1}^0 e^{t^2}dt+$\int\limits_0^1 e^{t^2}dt$$
А дальше как?
3. $f(x)=\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+...+\frac{1}{n!}x^n=e^x-1$
$g(x)=\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...+\frac{1}{(n+1)!}x^{n+1}=e^x-x-1$
$S=f(1)-g(1)=1$
Так вроде?

(Оффтоп)

А как с 1-ым быть?

[ewert]

Arcanine в сообщении #557409 писал(а):

А дальше как?

Ещё одну замену.

Arcanine в сообщении #557409 писал(а):

Так вроде?

Нет, не так: экспонента -- это бесконечная сумма, а не конечная. С другой стороны, для конечной суммы практически всё при вычитании сократится.

Arcanine в сообщении #557409 писал(а):

А как с 1-ым быть?

Лопиталить.

[Arcanine]

Цитата:

Лопиталить.

ewert а как обосновать?

[ewert]

Лопиталь -- он самообосновывающийся: если предел отношения производных -- то, значит, так тому и быть.

[Arcanine]

ewert а разве числитель не должен стремиться к нулю?

[ewert]

А он разве не стремится?

[Sapsar]

а не проще ли в первом примере просто убрать синус? Ведь t маленькое...

[ewert]

Sapsar в сообщении #557450 писал(а):

а не проще ли в первом примере просто убрать синус? Ведь t маленькое...

Можно, но понадобятся некоторые формальные дополнительные оправдания. В Лопитале их не нужно.

[Arcanine]

Цитата:

Ещё одну замену.

ewert А какую? $t^2?$

[MrDindows]

Arcanine в сообщении #557409 писал(а):

2. $=-\int\limits_{-1}^0 e^{t^2}dt+$\int\limits_0^1 e^{t^2}dt$$

Я бы просто написал, что в сумме они дают 0, так как $e^{t^2}$ - чётная функция)

[Arcanine]

MrDindows Точняк. Получается как нечетная функция на отрезке [-a;a].