Длина второй диагонали.

[integral2009]

Известно, что площадь трапеции равна 30, длина одной из диагоналей равна 5, а длина отрезка, соединяющего середины оснований равна 6 . Найдите длину второй диагонали трапеции.



Всегда ли $HH'$ будет проходить через точку пересечения диагоналей? С чего начать?

[Dave]

Красивая задача. Нужно провести через точку $H$ прямые, параллельные диагоналям и рассмотреть образующиеся треугольники на предмет подобия и площадей. Что касается вопроса о прямой $HH'$, то я бы поставил вопрос не так: проходит ли прямая $HO$ через середину противоположного основания?

[alcoholist]

Dave в сообщении #557190 писал(а):

рассмотреть образующиеся треугольники на предмет подобия и площадей

зачем подобие? просто равенство площадей

И задача сводится к отысканию стороны треугольника при известной другой, медиане и площади

можно тупо координатным методом: написать две теоремы Пифагора и площадь

[Dave]

alcoholist в сообщении #557196 писал(а):

Dave в сообщении #557190 писал(а):

рассмотреть образующиеся треугольники на предмет подобия и площадей

зачем подобие? просто равенство площадей

Вначале подобие, а уже потом равенство. Я это так увидел. А в вопросе о $HO$ равенства вообще нет, только подобие.

alcoholist в сообщении #557196 писал(а):

И задача сводится к отысканию стороны треугольника при известной другой, медиане и площади

можно тупо координатным методом: написать две теоремы Пифагора и площадь

На то я и сказал "красивая задача", что там получается прямой угол и "тупо" применять стандартные формулы (которые ещё и далеко не каждый помнит), а тем более координатный метод, в данном случае нет смысла.

[integral2009]

Dave в сообщении #557190 писал(а):

Красивая задача. Нужно провести через точку $H$ прямые, параллельные диагоналям и рассмотреть образующиеся треугольники на предмет подобия и площадей.

А какие именно треугольники рассмотреть?

-- Пт апр 06, 2012 21:57:40 --

Dave в сообщении #557190 писал(а):

Что касается вопроса о прямой $HH'$, то я бы поставил вопрос не так: проходит ли прямая $HO$ через середину противоположного основания?

Если проходит, то и ответ на мой вопрос - да. Но как доказать это?

[alcoholist]

integral2009 в сообщении #557208 писал(а):

А какие именно треугольники рассмотреть?

тот треугольник, у которого две стороны равны диагоналям трапеции

[integral2009]

alcoholist в сообщении #557210 писал(а):

integral2009 в сообщении #557208 писал(а):

А какие именно треугольники рассмотреть?

тот треугольник, у которого две стороны равны диагоналям трапеции

Спасибо. Вот этот $A'HD'$? Не уж-то $HH'$ будет высотой?



В про равенство треугольников $\Delta MD'D$ и $\Delta HLM$ + равенство $A'NA$ и $BHK$?

[Dave]

Найдите на рисунке два параллелограмма. $HH'$ - медиана, а не высота в указанном треугольнике. Кроме этого, площадь этого треугольника равна площади трапеции. Определите, почему.

[integral2009]

Dave в сообщении #557245 писал(а):

Найдите на рисунке два параллелограмма. $HH'$ - медиана, а не высота в указанном треугольнике. Кроме этого, площадь этого треугольника равна площади трапеции. Определите, почему.

Спасибо, получилось доказать (могу расписать, если нужно). А как теперь найти сторону треугольника (диагональ трапеции), зная площадь, медиану и сторону другую?

-- Сб апр 07, 2012 01:01:02 --

Dave в сообщении #557190 писал(а):

проходит ли прямая $HO$ через середину противоположного основания?

А как доказать, что проходит (вот это не получилось)

[Dave]

integral2009 в сообщении #557286 писал(а):

Dave в сообщении #557190 писал(а):

проходит ли прямая $HO$ через середину противоположного основания?

А как доказать, что проходит (вот это не получилось)

Пусть $H'$ - точка пересечения прямой $HO$ с основанием $AD$. $\triangle AOH' \sim \triangle COH$, $\triangle DOH' \sim \triangle BOH$. Значит $\frac {AH'} {HC}=\frac {h'} h=\frac {DH'} {HB}$, где $h'$ и $h$ - расстояния от точки $O$ соответственно до прямых $AD$ и $BC$.

integral2009 в сообщении #557286 писал(а):

А как теперь найти сторону треугольника (диагональ трапеции), зная площадь, медиану и сторону другую?

Пусть длина диагонали $AC$ нам известна. Отобразите $\triangle D'H'H$ симметрично относительно точки $H'$. Пусть точка $H$ перейдёт при этом в точку $H''$.
Чему равно произведение сторон $A'H$ и $HH''$ треугольника $A'HH''$?
Чему равна площадь $\triangle A'HH''$ и во сколько раз она меньше вышеуказанного произведения?
При каком значении $\angle A'HH''$ такое возможно?
Как теперь найти длину стороны $A'H''$?

[integral2009]

Dave в сообщении #557293 писал(а):

Пусть $H'$ - точка пересечения прямой $HO$ с основанием $AD$. $\triangle AOH' \sim \triangle COH$, $\triangle DOH' \sim \triangle BOH$. Значит $\frac {AH'} {HC}=\frac {h'} h=\frac {DH'} {HB}$, где $h'$ и $h$ - расстояния от точки $O$ соответственно до прямых $AD$ и $BC$.

Спасибо, это понятно.

-- Сб апр 07, 2012 12:38:07 --

Dave в сообщении #557293 писал(а):

Пусть длина диагонали $AC$ нам известна. Отобразите $\triangle D'H'H$ симметрично относительно точки $H'$. Пусть точка $H$ перейдёт при этом в точку $H''$.

По условию: $AC=5$, $HH'=6$

$S_{ABCD}=30$

Цитата:

Чему равно произведение сторон $A'H$ и $HH''$ треугольника $A'HH''$?

$A'H\cdot HH''=5\cdot 12=60$

Цитата:

Чему равна площадь $\triangle A'HH''$ и во сколько раз она меньше вышеуказанного произведения?

$S_{\triangle A'HH''}=30$, меньше в 2 раза.

Цитата:

При каком значении $\angle A'HH''$ такое возможно?

При $\angle A'HH''=\dfrac{\pi}{2}$ (так как тогда будет половина произведения катетов. )

Цитата:

Как теперь найти длину стороны $A'H''$?

По теореме Пифагора $A'H''=BD=13$

Спасибо, классно все получилось. Остался лишь один вопрос -- это я так криво нарисовал, что угол $\angle A'HH''=\dfrac{\pi}{2}$ у меня на рисунке и близко не прямой?

[integral2009]

И есть ли еще способы решения этой задачи, кроме координатного (если нет, то как координатным)?

[Батороев]

integral2009 в сообщении #557445 писал(а):

И есть ли еще способы решения этой задачи..?

Соединив середины всех сторон, получите параллелограмм, со сторонами равными половинам диагоналей трапеции. Далее можно попробовать использовать площадь параллелограмма и его свойство

Цитата:

Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон параллелограмма

Сам не решал, т.к. устал из-за того, что весь день грешил, т.е. работал в Благовещение.

[BVR]

Можно без доп. построений обойтись. Площадь трапеции $AHCH'$ равна 15. С другой стороны она равна $\frac{1}{2}AC\cdot HH'\cdot\sin{\alpha}$, $\alpha$ - это угол $HOC$. Подставляя, находим, что $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$
Площадь трапеции $BHDH'$ тоже равна 15 и равна $\frac{1}{2}BD\cdot HH'\cdot\sin{\beta}$, где $\beta$ - это угол $BOH$. Получаем, что $BD\cdot\sin{\beta}=5$ (1).
А площадь самой трапеции равна 30 и равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. А этот угол равен $\dfrac{\pi}{2}+\beta$. Тогда $BD\cdot\cos{\beta}=12$ (2). Возводя равенства (1) и (2) в квадрат и складывая их, получаем: $BD=13$

[integral2009]

Батороев в сообщении #557530 писал(а):

integral2009 в сообщении #557445 писал(а):

И есть ли еще способы решения этой задачи..?

Соединив середины всех сторон, получите параллелограмм, со сторонами равными половинам диагоналей трапеции.

А какой именно параллелограмм?

BVR в сообщении #557615 писал(а):

Можно без доп. построений обойтись. Площадь трапеции $AHCH'$ равна 15. С другой стороны она равна $\frac{1}{2}AC\cdot HH'\cdot\sin{\alpha}$, $\alpha$ - это угол $HOC$.

А почему $S=\frac{1}{2}AC\cdot HH'\cdot\sin{\alpha}$?