распределение выборочного среднего не гауссовых с.в.

[Caran-d'Ache]

Добрый день. В результате решения инженерной задачи столкнулся со следующей проблемой. Есть функция плотности вероятности случайной переменной (тангенса угла некоторой величины) $\xi$:
$w_\xi(x |\rho ,\psi )=\frac{2}{\pi }+\sqrt{\frac{2}{\pi }} e^{-\frac{\rho ^2}{4}} \rho \sum _{k=1}^{\infty } \left(I_{k+\frac{1}{2}}\left(\frac{\rho ^2}{4}\right)+I_{k-\frac{1}{2}}\left(\frac{\rho ^2}{4}\right)\right) \cos (2 k x ) \cos (2 k \psi )$,
где $R$, $\psi$ - детерминированные константы и $0\leq \xi \leq \frac{\pi }{2}$

Оперировать этой плотностью невыносимо, но "внимательно всмотревшись" в вид плотности, можно заметить "схожесть" с определением тэта функции Якоби, которая по определению:
$\theta _3(z,q)=1+2 \sum _{k=1}^{\infty } q^{k^2} \cos (2 k z)$
Пошарив по библиотеке нашёл пару зарубежных книг по тому, что у них называется "directional statistics" (русскоязычного аналога не нашёл, поправьте меня если знаете, буду рад):
-Fisher, NI., Statistical Analysis of Circular Data, Cambridge University Press, 1993.
-Mardia, KV. and Jupp P., Directional Statistics (2nd edition), John Wiley and Sons Ltd., 2000.

И там пободное распределение действительно возникает: это так называемое wrapped normal distribution. Как там сказано - это аналог нормального распределения, но для окружности. И его ПРВ действительно тэта функция Якоби. И связано это как раз с величиной, имеющей смысл угловой переменной.

Проблема в том, что принимать за $q$. Я так понимаю, что у меня не совсем "это распределение". но при определённых $R$ (вероятнее всего больших), оно будет к нему стремиться. Немного поигравшись численным подбором, пришёл к заключению, что в качестве $q$ можно выбрать $e^{-\frac{2}{\rho ^2}}$. И в итоге исходную ПРВ можно преобразовать в следующую двухкомпонентную смесь:
$w_\xi(x|\rho ,\psi )=\frac{\vartheta _3\left(x-\psi ,e^{-\frac{2}{\rho ^2}}\right)+\vartheta _3\left(x+\psi ,e^{-\frac{2}{\rho ^2}}\right)}{\pi }$

Есть 3 убийственных для меня вопроса:
1) Можно ли доказать хоть сколь-нибудь строго, что исходное распределение действительно сходится к тому, что было получено, ну или подобного вида?
2) Если считать, что нет, но использовать полученное распределение для аппроксимации исходного распределения, как оценить (количественно), насколько это хорошая аппроксимация. Нашёл, в литературе, что можно использовать дивергенцию Кульбака-Лейблера. Ну посчитал, получил число, а насколько это хорошо оценить не могу (в литературе не нашёл).
3) Необходимо найти распределение выборочного среднего и выборочной дисперсии таких величин $\Xi =\sum _{n=1}^N \xi _n$. Но как тут подойти даже ума не приложу. Тут даже в лучшем случае - каждая величина имеет распределение в виде смеси, да ещё и диапазон изменения не всяя окружность, а лишь один квадрант (так это называется "multiple wrapped", но дальше никаких намёков, как с этим работать нет). Однако в учебниках написано, что "wrapped normal distribution" - устойчивое семейство распределений относительно операции сложения (как и обычный гаусс), так что может как-то использовать цпт, но вот как...