Проблемы с биекцией

[Иван_85]

Помогите пожалуйста разобраться.
Докажите, что множества $\left (-2;1\right )$ и $\left (2; +\infty \right )$ равномощны.
Геометрически биекция строится легко. Но у меня возник вопрос в другом способе решения.
Легко можно увидеть, что функция $f=2+\tg\left (\frac{x+2}{6}\pi\right ):\left (-2;1\right )\rightarrow \left (2; +\infty \right )$, по-видимому, является биекцией между исходными интервалами, но ведь это еще нужно доказать. Или я ошибаюсь и тут больше ничего не нужно доказывать?
1. Проверка на инъекцию. Как убедиться в том, что для любого $y\in \left (2; +\infty \right )$ существует $x\in\left (-2;1\right )$ такой, что $f(x)=y$?
2. Проверка на сюръекцию. Как убедиться в том, что для любых $x_1, x_2 \in \left (-2;1\right ) \left( x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)\right)$?
Меня интересует строгая формальная сторона вопроса.

[Nemiroff]

Функция возрастает: если корень существует, он единственен.
Можно выразить $x$ через $y$, посмотреть на него.
Можно рассмотреть последовательности, затем применить теорему Вейерштрасса.

Можно доказать более общий случай, а этот получить как следствие.

[Иван_85]

Nemiroff в сообщении #556534 писал(а):

Функция возрастает: если корень существует, он единственен.

Я не понял, это к чему?

Nemiroff в сообщении #556534 писал(а):

Можно выразить $x$ через $y$, посмотреть на него.

Для того, что бы выразить нужно иметь равенство. А сюръекция как раз и означает возможность записи определенного равенства для любого $y \in \left(2;+\infty\right) $.

[LaTeXScience]

Иван_85 в сообщении #556526 писал(а):

Как убедиться в том, что для любого $y\in \left (2; +\infty \right )$ существует $x\in\left (-2;1\right )$ такой, что $f(x)=y$?

Найдите область значений функции $f$ и покажите, что она содержит каждую точку из $\left (2; +\infty \right )$.

Иван_85 в сообщении #556526 писал(а):

Как убедиться в том, что для любых $x_1, x_2 \in \left (-2;1\right ) \left( x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)\right)$?

Покажите, что разность $f(x_1)-f(x_2)$ не равна нулю.

И, кстати, Вы перепутали инъекцию с сюръекцией.

[Nemiroff]

Иван_85 в сообщении #556544 писал(а):

Я не понял, это к чему?

Вы хотите доказать существование и единственность корня. Я говорю, что если корень существует, он единственен.

Иван_85 в сообщении #556544 писал(а):

Для того, что бы выразить нужно иметь равенство.

Не понял.
Подставьте произвольный $y$, найдите $x$, затем проверьте, что он реально порождает требуемый $y$.

Функция непрерывна, не ограничена, находите $x$, чтоб под функцией превышал требуемый $y$, затем по теореме Больцано-Коши корень существует.

LaTeXScience в сообщении #556551 писал(а):

И, кстати, Вы перепутали инъекцию с сюръекцией.

Дурацкие слова

[Иван_85]

LaTeXScience в сообщении #556551 писал(а):

Найдите область значений функции $f$ и покажите, что она содержит каждую точку из $\left (2; +\infty \right )$.

Ну область значения функции $f$ равна $\left(2;+\infty\right)$. Каждая точка из этого интервала принадлежит этому интервалу. И что это дает?

LaTeXScience в сообщении #556551 писал(а):

Покажите, что разность $f(x_1)-f(x_2)$ не равна нулю.

Это равносильное утверждение. Я как раз и спрашиваю как это доказать.

LaTeXScience в сообщении #556551 писал(а):

И, кстати, Вы перепутали инъекцию с сюръекцией.

Ой...

[Nemiroff]

Иван_85 в сообщении #556556 писал(а):

Это равносильное утверждение. Я как раз и спрашиваю как это доказать.

Я же вам уже сказал: функция возрастает.

[Иван_85]

Nemiroff в сообщении #556559 писал(а):

Я же вам уже сказал: функция возрастает.

Хорошо. Как показать, что функция $f$ возрастает?
$f(x+\triangle x)-f(x)=\tg\left(\frac{x+\triangle x+2}{6}\pi\right)-\tg\left(\frac{x+2}{6}\pi\right) $. Как показать, что эта разность положительна?
p.s.
$x, x+\triangle x\in \left(-2;1\right)$.

[Nemiroff]

Иван_85 в сообщении #556563 писал(а):

Хорошо. Как показать, что функция $f$ возрастает?

Производная.

[Иван_85]

Nemiroff в сообщении #556566 писал(а):

Производная.

Здесь нельзя привлекать понятие производной для тангенса. Так как при выводе формулы производной для тангенса в числителе предела как раз и появляется эта разность $f(x+\triangle x)-f(x)$. Мы как бы не знаем еще формулы для производной тангенса.
Другими словами, утверждения "$\frac{d}{dx}f(x)>0$ на $\left(-2;1\right)$" и "$f(x+\triangle x)-f(x)>0$ на $\left(-2;1\right)$" равносильны и их нужно доказать.

[Nemiroff]

Иван_85 в сообщении #556577 писал(а):

Здесь нельзя привлекать понятие производной для тангенса. Так как при выводе формулы производной для тангенса в числителе предела как раз и появляется эта разность $f(x+\triangle x)-f(x)$. Мы как бы не знаем еще формулы для производной тангенса.

Я ни черта не понял. Как это связано с вашей задачей? Вы для биекции предложили функцию - уж наверное вы знаете ее свойства.
Не знаете производную тангенса - выведите. У синуса знаете?

[Иван_85]

Nemiroff в сообщении #556580 писал(а):

Я ни черта не понял. Как это связано с вашей задачей? Вы для биекции предложили функцию - уж наверное вы знаете ее свойства.
Не знаете производную тангенса - выведите. У синуса знаете?

Я всего-лишь предположил, что функция $f$ определяет биекцию для исходных интервалов. Но это еще нужно строго показать: сначала показать сюръекцию, а затем - инъекцию. При этом нельзя прибегать к помощи производных.
Я подозреваю, что должно существовать какое-то "первичное" определение $\tg(x)$, отличное от $\tg(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, которое позволит доказать и сюръекцию и инъекцию.
Причем это понятие должно быть не геометрическим.

[Nemiroff]

Иван_85 в сообщении #556591 писал(а):

При этом нельзя прибегать к помощи производных.

Почему? Вы же взяли конкретную функцию. На данном интервале корень существует и единственен, потому что функция такая. Ну и все.

[Иван_85]

Потому что, для того чтобы получить формулу для производной $\tg(x)$ на интервале $\left(0;\pi\right)$ нужно сначала установить факт возрастания или убывания $\tg(x)$ на этом интервале. А Вы теперь предлагаете воспользоваться производной для установления факта возрастания или убывания функции. Это замкнутый круг получается.

[Nemiroff]

Иван_85 в сообщении #556599 писал(а):

Потому что, для того чтобы получить формулу для производной $\tg(x)$ на интервале $\left(0;\pi\right)$ нужно сначала установить факт возрастания или убывания $\tg(x)$ на этом интервале.

Э-э-э. Тяжело вам, наверное, проверять функции на монотонность.
Погуглите, как выводится производная тангенса.