Безспиновая частица в магнитном поле.

[Mitrandir]

Есть задача о частице с нулевым спином в магнитном поле. Значит, для уравнения Шредингера $H\Psi=E\cdot\Psi$ возьмем соответсвующий Гамельтониан ... я нашел собственные функции с точностью о коэффициента, но какие граничные условия поставить???
В задаче необходимо найти волновые функции и спектр (но без гран условий это не до конца поставленная задача)
Магнитное поле однородное ... Неужели можно найти спектр без граничных условий (это же бред)
Замечание: необходимо найти стационарные состояния в которых кроме энергии имеет определенное значение проекция момента импульса на направление магнитного поля (по моему ничего не значащее с точки зрения граничных условий информация)

[Bulinator]

Теперь попытайтесь нормировать ту функцию, которую получили.

$\int\Psi^*\Psi dV=1$

При каких значениях энергии это вообще возможно сделать?

[Mitrandir]

Нормировкой я найду коэффициент, но мне он и не нужен. Гораздо интереснее найти спектр.
Я не представляю при каких ...

[Bulinator]

Чтобы не быть голословными, распишите, пожалуйста, полученную функцию тут на форуме.

[Mitrandir]

$\Psi=C\exp(im\varphi)\exp(ip_zz/h)\exp(-x/2)F(\alpha,\gamma,x)x^{m/2}$

-- Ср апр 04, 2012 00:48:04 --

Должны получится уровни Ландау?

[Unior]

Спин-момент, равный нулю, может иметь проекцию, лишь равную нулю.
Таким образом, статистический вес спин-момента, равного единице, равен 3, в то время как статистический вес нулевого спин-момента равен единице.

[Bulinator]

Понятно, что по $p_z$ нужно нормировать на $\delta$-функцию. А вот гипергеометрическая ф-я растет быстрее экспоненты, так что нужно выбрать параметр $\alpha$ (или $\gamma$) так, чтобы было

$\int e^{-x/2}F(\alpha,\gamma,x)x^{m/2}dx<\infty$

Этого можно добиться положив $\alpha$ равным целому отрицательному числу.

[Mitrandir]

параметры альфа и гамма известные. Альфа зависит от энергии. Значит положив его раным целому числу я получу спектр?

[Bulinator]

Mitrandir в сообщении #555806 писал(а):

Значит положив его раным целому числу я получу спектр?

Обычно так его и получают.

[Mitrandir]

Спасибо. Первый раз решаю подобные задачи, да еще и с гипергеометрическими функциями.
Но должны ли получится уровни Ландауу? А интегрирование которое вы проводите, это нормировка волновой функции

[Bulinator]

И кстати, посмотрите книгу
Ландау, Лифшиц, Теоретическая физика, т.3 Квантовая механика $\S 112$, "Движение в однородном магнитном поле".

[Mitrandir]

Собирался сделать это завтра с утра. И там даже ответ моей задачи есть. Еще раз спасибо.

[Bulinator]

Mitrandir в сообщении #555808 писал(а):

Но должны ли получится уровни Ландауу?

Ну если уравнение решили правильно(я, конечно, не проверял), то должны.

Mitrandir в сообщении #555808 писал(а):

А интегрирование которое вы проводите, это нормировка волновой функции

Чтобы эту нормировку в принципе можно было провести, Вам необходимо положить такие условия на энергию частицы. А дальше уже нормируете.

[Mitrandir]

Это фактически условие конечности решения? Раз интеграл расходящийся(в общем случае)

[Bulinator]

Mitrandir в сообщении #555813 писал(а):

Это фактически условие конечности решения?

Из высоких физических соображений следует, что в.ф. должна обращаться в нуль на бесконечности ибо там вероятность чего-нибудь найти равна нулю.

Далее в.ф. нужно нормировать. Тут возможно 2 случая- непрерывный и дискретные спектры... А впрочем, это все рассказано в Главе 1 того же Ландафшица.