Симплициальное пространство, открытость и замкнутость

[FFFF]

Здравствуйте!
Нужно выяснить, какие симплексы в симплициальном пространстве являются открытыми, а какие замкнутыми.
Симплекс - это $\{c \in S(V, \Sigma) | supp(c)=\sigma\}$, где $\sigma \in \Sigma$.
Симплициальное пространство: $S(V, \Sigma)=\{c:V \rightarrow I | supp(c) \subset \Sigma \ , \sum_{v \in V} c(v)=1\}$
Метрика в нём: $\rho (c_1,c_2)=\sup_{v \in V} |c_1(v)-c_2(v)|$

Пространство метрическое, значит нормальное, в нём одноточечные множества замкнуты, следовательно симплексы с $\sigma=\{x\} \ x \in V$ - замкнуты, так как состоят из одной точки (функции, которая равна 1 в $x$ и 0 во всех других точках). Если в $\sigma$ больше одной точки, то у меня получается, что симплексы не являются открытыми, так как вместе с точкой в симплекс не получается впихнуть шар нужного радиуса. Это настораживает, так как вообще симплексы у Виро, Нецветаева называются по другому "открытыми симплексами". Какую ещё литературу можно почитать?

[FFFF]

Я рассуждаю так:
Пусть $A_\sigma=\{c \in S(V,\Sigma)| supp(c)=\sigma\}$. Тогда, чтобы $A_\sigma$ было открыто, необходимо и достаточно, чтобы $\forall c \in A_\sigma \ \exists R>0 : B_R(c) \subset A_\sigma$ Рассмотрим какое-нибудь

$$a : \ \sup_{v \in V} |a(v)-c(v)|=\max\{\max_{v \in \sigma}|a(v)-c(v)|,\sup_{v \notin \sigma}|c(v)|\}<R$$

Таким образом, какое бы $R$ мы не взяли, всегда можно найти такое $a \in B_R(c)$, что $\exists v \notin \sigma : a(v) \neq 0$ и $\max_{v \in \sigma}|a(v)-c(v)|<|a(v)|<R$.
Вообще, рассуждения правильные? Я подозреваю, что есть какое-то качественное непонимание предмета=(

[lofar]

Похоже, все верно. Только в первой формуле второй элемент под $\max$ должен быть $\sup$ от $a$, а не от $c$.

Слово "открытый", предполагаю, связано с тем, что в определении симплекса стоит равенство ($supp(c)=\sigma$), а не включение ($supp(c)\subseteq\sigma$). Соответственно, для всех $v\in\sigma$ имеем $c(v) > 0$. Например, в обычной плоскости симплекс натянутый на 3 точки будет внутренностью треугольника с этими вершинами, а она открыта в плоскости. Другое дело, что эта внутренность треугольника не будет открытой в 3-мерном объемлющем пространстве, вы это и обнаружили.

[FFFF]

lofar
Да, понял, спасибо большое!