Неустойчивость особой точки векторного поля

[scwec]

Пусть $X$ - гладкое векторное поле на $\mathbb{R}^n$.
Точка $x_0\in\mathbb{R}^n$ такова,что $X(x_0)=0$ - изолированная особенность $X$.
Известно, что
$1.$ существует гладкая функция $F$ такая, что $X(F)=0$ и $dF(x_0)=0$;
$2.$ существует траектория $x(t)$ поля $X$, такая, что $x(t)\to{x_0}$ при $t\to\infty$;
$3.$ во всех точках этой траектории $dF\ne{0}$.

Требуется доказать, что $x_0$ неустойчива по Ляпунову.

[Oleg Zubelevich]

Ну грубо говоря так. Пусть $x_0=0$. Тогда $\dot x=Ax+O(\|x\|^2),\quad F(x)=x^TGx+O(\|x\|^3),\quad x\to 0$. Дальше если обозначить $\xi(t)=Gx(t)$ то получается $\dot \xi=-A^T\xi+...$ поэтому $A$ имеет корень с положительной действительной частью
Я вот только не пойму чтоб это рассуждение проходило ,надо ли еще какие-то предположения на $X$ накладывать типа $\det\frac{\partial X}{\partial x}(0)\ne 0$ или нет?

[scwec]

Ну а если нет линейной части?

[Oleg Zubelevich]

то это декаданс

[scwec]

Придется работать тоньшей.

[scwec]

Прелагается такая схема доказательства:
Сначала докажем, что $x(t)$ неустойчива при $t\to\infty$.
Предположим противное. Тогда уравнения в вариациях, написанные вдоль $x(t)$: $\frac{dr^i}{dt}=\frac{\partial{X^i}}{\partial{x^j}}{r^j}$ имеют устойчивое нулевое решение, и для любого решения уравнений $|r|$ ограничено сверху.
С другой стороны, компоненты формы $dF$: $k_i=\frac{\partial{F}}{\partial{x^i}}$ удовлетворяют вдоль $x(t)$ уравнениям $\frac{dk_i}{dt}=-\frac{\partial{X^j}}{\partial{x^i}}{k_j}$ (получаются дифференцированием по координатам равенства $X(F)=0$).
Следовательно, вдоль $x(t)$ справедливо равенство $r\cdot{k}=\operatorname{const}$.
По условию $k$ на $x(t)$ в ноль не обращается. $r$ выберем так, чтобы $r\cdot{k}\ne{0}$.
Поскольку $|k|\to{0}$ при $t\to\infty$, то $|r|$ неограниченно растет при $t\to\infty$. Полученное противоречие доказывает, что $x(t)$ неустойчива.
Вторым пунктом является применение стандартной $\delta, \varepsilon$ - техники, чтобы из неустойчивости траектории, стремящейся к особой точке вывести неустойчивость этой точки.

[Oleg Zubelevich]

здорово!

[scwec]

Пусть $x\in\mathbb{R}^n$, $x=(x^1,...,x^n)$.
Рассматривается система $\dot{x}^i=(x^i)^{2n_i+1}+{f^i}(x^1,...,x^n)$, где $f^i$ - гладкие функции, $f^i(0)=0$, $\frac{\partial{f^i}}{\partial{x^i}}=0$, $n_i$ - натуральные числа.
Требуется доказать, что $0$ - неустойчив по Ляпунову.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

У меня вопрос к Oleg Zubelevich. "Откуда гамильтоновость на картинке? Из особой точки на вертикальной оси все траектории выходят."


а это я просто не заметил