Доброго времени суток!
Для поточечной сходимости в метрическом пространстве известна теорема о том, что если в последовательности

у любой подпоследовательности

можно выделить под-подпоследовательность

, сходящуюся к пределу

, то и сама последовательность

сходится к

.
Выяснить, для каких из нижеперечисленных видов сходимости выполняется аналогичная теорема, сформулировать ее и доказать: равномерная сходимость по мере, сходимость почти всюду, равномерная почти всюду сходимость.
Я пытался для начала рассмотреть случай конечной меры, и найти контрпример хотя бы к одному из случаев. Для сходимости почти всюду мы можем утверждать, что любая сходящаяся под-подпоследовательность может расходиться лишь на множестве меры ноль, следовательно если если основная последовательность

и расходится, то лишь на объединении множеств меры ноль. Я запнулся на том, что количество подпоследовательностей счетной последовательности несчетно, следовательно объединение множеств меры ноль может включать в себя несчетное количество этих множеств, отсюда следует, что мы не можем утверждать, что мера объединения тоже будет равна нулю.