критерии разных видов сходимости функциональных рядов

[silveer]

Доброго времени суток!

Для поточечной сходимости в метрическом пространстве известна теорема о том, что если в последовательности ${f_n}$ у любой подпоследовательности ${f_n__k}$ можно выделить под-подпоследовательность ${f_n__k___l}$, сходящуюся к пределу $f$, то и сама последовательность ${f_n}$ сходится к $f$.
Выяснить, для каких из нижеперечисленных видов сходимости выполняется аналогичная теорема, сформулировать ее и доказать: равномерная сходимость по мере, сходимость почти всюду, равномерная почти всюду сходимость.

Я пытался для начала рассмотреть случай конечной меры, и найти контрпример хотя бы к одному из случаев. Для сходимости почти всюду мы можем утверждать, что любая сходящаяся под-подпоследовательность может расходиться лишь на множестве меры ноль, следовательно если если основная последовательность ${f_n}$ и расходится, то лишь на объединении множеств меры ноль. Я запнулся на том, что количество подпоследовательностей счетной последовательности несчетно, следовательно объединение множеств меры ноль может включать в себя несчетное количество этих множеств, отсюда следует, что мы не можем утверждать, что мера объединения тоже будет равна нулю.