Является ли описанная ситуация бифуркацией?

[ninasus]

В фазовом пространстве есть две точки - одна устойчивая, вторая не устойчивая. При некотором значении параметров эти две точки сливаются в "седло-узел", а потом опять имеем в фазовом пространстве две точки, но они обменялись устойчивостю.

Вопрос: можна ли говорить, что состоялась бифуркация?

Интересует имено момент слияния и утворение точки типа "седло-узел" - это бифуркация или нет? Если нет - как этот момент можно назвать?
Желательно по возможности укажите литературу, где описана эта ситуация

Зарание спасибо

[G^a]

Здравствуйте!

В теории ДС под бифуркациями понимают обычно следующее: изменение кол-ва и/или вида точек (областей) равновесия; изменениие качественной (топологической) структуры движения системы; при малом изменении (шевелении) параметра (ов).

Отсюда и исходите по своему вопросу. Читать можно литературу по: Теория бифуркаций ДС, Качественная теория ДС, Нелинейная динамика.

Чтобы Вам было легче разобраться в своём вопросе, схематично нарисуйте рядом три фазовых диаграммы, слева от слияния, в момент слияния, и справа после слияния. На их основе можно разрисовать бифуркационную диаграмму. По этим рисункам Вам должно всё однозначно стать понятным.

С уважением,
G^a.

[ninasus]

Спасибо за ответ.
То что Вы написали я знаю.
Дело в том, что фазовый портрет справа и слева от слияния идентичный, а вот в момент слияния другой - две точки сливаются в одну "седло-узол". Получается, что в этот момент фазовый портрет изменяется. Вот потому я и спрашиваю, можно ли говорить, что в системе была бифуркация.

[G^a]

Здравствуйте!
Читаем:

G^a в сообщении #555034 писал(а):

В теории ДС под бифуркациями понимают обычно следующее: изменение кол-ва и/или вида точек (областей) равновесия...

ninasus в сообщении #554767 писал(а):

В фазовом пространстве есть две точки - одна устойчивая, вторая не устойчивая. При некотором значении параметров эти две точки сливаются в "седло-узел", а потом опять имеем в фазовом пространстве две точки, но они обменялись устойчивостю.

Делаем выводы. Качественное изменение фазового портрета происходит (потеря и/или инверсия устойчивости точками (областями) сюда тоже относится), следовательно бифуркация присутствует. Более интересный вопрос - как её классифицировать и каков механизм.

С уважением,
G^a.

[ninasus]

Цитата:

Более интересный вопрос - как её классифицировать и каков механизм

Если рассматривать механизм, то у меня такая идея: фактически синтез двох бифуркаций - первая: слияние двух точек в одну и ее дальшее исчезновение и второй: возникновение точки и ее роздвоение.

[G^a]

А саму ДС показать можете?

С уважением,
G^a.

[ninasus]

$dx_{i}/td=(F_{i}(x)-\sum(x_{j}F_{j}(x))/S) i=1,n$
$F_{1}=N-x_{1}$
$F_{i}=a_{i-1}x_{i-1}-x_{i} i=2,n$

Параметры строго больше нуля

Сейчас рассматриваю двомерный и трехмерный случаи.
С модели не возможно сказать о существовании двойной бифуркации.

[G^a]

А $j$ - по которым сумма, от $1$ до $n$? А $i$ из $j$-х исключается?

С уважением,
G^a.

[ninasus]

$j=1,n$ тоесть сума от 1 до n