Ортогонализация лнз системы. Получение многочленов Эрмита.

[samson4747]

Рассматривая геометрию гильбертова пространства натолкнулся на Задание 3.27 пункт а) сделал, а вот с пунктом б) как-то не смог справиться.
Выполняя ортогонализацию через проекторы: $\mathrm{proj}_{f}\,(g) = \dfrac{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) g(x) W(x) \; dx}{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left(f(x)\right)^2 W(x) \; dx} f(x)$, где $g_k(x)=x^k,\ k=0,1,2,\dots$

В итоге хочу получить ортогональную систему полиномов Чебышева-Эрмита:
$f_1 = g_1,\ f_2 = g_2-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_2),\ f_3 & = g_3-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_3)-\mathrm{proj}_{f_2}\,(g_3),\ \dots$

Получил: $1,\ x,\ x^2-\dfrac{1}{2}$, вместо $1,\ 2x,\ 4x^2-2$. Где моя ошибка? Может надо иначе рассуждать?

-- 01.04.2012, 19:18 --

Если воспользоваться прямо формулами ортогонализации Грама ― Шмидта, непосредственно выводящимися в доказательстве, для построение системы $f_1, f_2...f_{m+1}$ из $1, t, t^2, ...$ получим $f_1=1$, $f_2=t - \dfrac {(1, t)} {(1,1)}\cdot 1$, $f_3=t^2 - \dfrac {(1, t^2)} {(1,1)}\cdot 1 - \dfrac {(t, t^2)} {(t, t)}\cdot t$,
получаю вновь: $1,\ x,\ x^2-\dfrac{1}{2}$, вместо $1,\ 2x,\ 4x^2-2$.

[ИСН]

Какая ошибка? Вы ровно то и получили, что хотели. Ортогональность соблюдена.
Или Вас возмущает то, что пока систему никто не отнормировал, то она и не будет отнормирована?

[Human]

samson4747 в сообщении #554566 писал(а):

получаю вновь: $1,\ x,\ x^2-\dfrac{1}{2}$, вместо $1,\ 2x,\ 4x^2-2$.

Последняя система получается, по-моему, с помощью известного итеративного соотношения. Так их проще получать, и в процессе у старшего члена появляется коэффициент $2^n$. Видимо поэтому именно такую систему и стали называть полиномами Чебышева.
Ваша же система получается всего лишь делением на коэффициент при старшем члене.

[samson4747]

ИСН, Human, благодарю, что-то затупил забыл про $2^n$ и завершения процесса Грама ― Шмидта.

[ewert]

Human в сообщении #554571 писал(а):

и в процессе у старшего члена появляется коэффициент $2^n$. Видимо поэтому именно такую систему и стали называть полиномами Чебышева.

Нет, совсем не поэтому. Формально -- потому, что для системы Чебышёва весьма специфическая весовая функция в скалярном произведении. Фактически же -- и та функция там безыдейна, идейно же то, что те многочлены суть некие косинусы.