Лемма:
Каждой пространственно-степенной форме объемом (определение ПСС см. пост "О ВТФ и не только")

соответствуют формы того же вида объемом

и

.
То есть, полной форме соответствуют полные кратные степенные формы, разностным - соответствующие разностные кратные.
На основе Леммы ВТФ доказывается элементарно для простых степеней - разностная форма всегда будет вида

, поэтому, начав с предположения минимальности решения, будем приходить к возможности существования меньшего решения.
Например, для 3-ей степени, разностная форма будет вида

, так как известно, что один из членов кубического уровнения должен быть кратен 3-м.
Для второй степени это также справедливо и действительно имеется наименьшее решение.
На основе ПСС уже много чего доказано, например, доказано, что уравнение для 6-ой степени не имеет решений не только когда количество слагаемых 2 (как в ВТФ), а также 3, 4, 5 (как в гипотезе Эйлера), но и 6 и 7 и даже 8. Только при 9 наступает неопределенность.
Также легко доказывается правильность гипотезы Биля.