Движение объекта в неизвестном направлении

[etsm]

Добрый день. Помогите пожалуйста решить задачку которая звучит примерно так:

В начальный момент времени местоположение объекта на поверхности задано гауссовым распределением. Найти функцию и плотность распределения вероятностей в произвольный момент времени в случае движения объекта в неизвестном направлении.

Штудирование учебников по ТВ наводит на такие мысли:
Введем систему координат OXY. Местоположение задано случайным вектором $(\xi_x,\xi_y)$ . Плотность распределения вероятностей
$ p(\xi_x,\xi_y) = \frac 1 {\sqrt {2\pi\sigma_{x}\sigma_{y}}}e^ { - \frac 1 2 \left( \frac {\xi_x^2} {\sigma_x^2} + \frac {\xi_y^2} {\sigma_y^2} \right) } $
Объект движется под углом к оси X, заданным случайной величиной $ \psi $ равномерно распределенной на интервале $ (0;2\pi) $ ,
и скоростью $ \upsilon $. Плотности распределения вероятностей соответственно:
$ p(\psi)=\frac 1 {2\pi}, p(\upsilon)= \frac 1 {\sqrt {2\pi\sigma_{\upsilon}}}e^ { - \frac {\upsilon^2} {\sigma_{\upsilon}^2}} $

Если правильно понимаю в начале нужно найти функцию распределения случайных величин.

$ \eta_x=\xi_x + \upsilon t \cos(\psi) $
$ \eta_y=\xi_y + \upsilon t \sin(\psi) $

Для $ \eta_x $ функция распределения получается

$ F(x)=\int\int\int\int\limits_{\xi_x + \upsilon t \cos(\psi)<x} p(\xi_x,\xi_y)p(\psi)p(\upsilon) d\xi_x d\xi_y d\psi d\upsilon $

Правильно?

[PAV]

Технические детали не проверял, но общий ход мысли кажется правильным. Хотя задача странная. Слишком много деталей приходится домысливать самостоятельно.

[zask]

Где вы это взяли "в случае движения объекта в неизвестном направлении"? Галиматья, задача не может так формулироваться. Я могу задать движение к центру гауссиана, а могу смещение по х или хаотические прыжки. В таком виде формулировка абсолютна некорректна: не зная априорно характер движения никаких прогнозов построить нельзя.

[etsm]

Это своими словами, я не вероятностник. А разве $ \upsilon $ и $ \psi $ не задают характер движения?
В общем задача стоит научиться строить плотности распределения при различном характере движения. Этот вариант, полагаю, описывает объект который может двигаться, но направление движение не известно.

-- 01.04.2012, 16:47 --

Видимо лучше так:
$ F(x)=\iiint\limits_{\xi_x + \upsilon t \cos(\psi)<x}p(\xi_x)p(\psi)p(\upsilon) d\xi_x d\psi d\upsilon $
и нужно брать тройной интеграл.
Решаются ли такие задачи аналитически?

[zask]

Между "неизвестным" и "хаотическим" примерно такая же разница как между "физикой" и "физкультурой". У вас, судя по вашему ответу, более правильно сказать "известно, что хаотически". Кроме того, хаос бывает разный: может быть диффузионное движение, могут быть прыжки, например. Уважайте постановку.

etsm в сообщении #554526 писал(а):

А разве $ \upsilon $ и $ \psi $ не задают характер движения?

Вы считаете, что условие задачи надо извлекать из вашего ответа? Такая неряшливая постановка вызывает такой же ответ: смысл углубляться, если большая вероятность того, что вы неверно сформулировали условия.

[etsm]

zask
Если сказать точнее, то нужно строить плотности распределения для человека оказавшегося в воде. Можно сказать, что есть две составляющие движения (плюс их комбинация):
- собственное случайное свободное движение (человек может плыть или пытаться оставаться на одном месте);
- дрейф (можно считать, что дрейф задается парой равновероятных векторов для каждого из которых задается среднеквадратичная погрешность направления и скорости).
Видимо есть модели описывающие возможные варианты более точно, но в настоящий момент мне будет достаточно считать, что все плотности распределения нормальные (или плотность равномерная для направления собственного движения).

Пока пытаюсь решить задачу для первого варианта. Достаточно ли сказанного чтобы сделать правильную постановку?

[zask]

etsm в сообщении #554558 писал(а):

Достаточно ли сказанного чтобы сделать правильную постановку?

Достаточно, чтобы засомневаться. Правильно я почувствовал слабость. Вызывает сомнения, что человек в воде движется хаотически. Как это может быть? Скорее, он движется целенаправленно к берегу или к какой-то цели, например, ориентируясь по солнцу. Почему дрейф случаен? Что это? Не движение реки, не прилив? Почему есть начальное распределение? Они что, выстрелены из пушки? Человек один? Если нет, то есть большая корреляция в движении разных точек.

etsm в сообщении #554558 писал(а):

Видимо есть модели описывающие возможные варианты более точно, но в настоящий момент мне будет достаточно считать, что все плотности распределения нормальные (или плотность равномерная для направления собственного движения).

При чем тут "или"? Я понял так, что должно быть "и".

[etsm]

Начальное распределение есть потому-что исходная точка определяется с погрешностью.
Составляющих дрейфа очень много, это и течение, и приливы, их влияние на дрейф зависит от формы объекта, что уже вносит неопределенность. Выступающие над водой части объекта могут быть расположены к ветру под разными углами. Поэтому определяют два вектора относительно нисходящего ветра (вправо и влево).
Если человек видит берег, то видимо к нему и поплывет, но это частный случай. А в общем поведение человека при ЧС, как показала практика, вообще непредсказуемо, даже если он не получил повреждения.
Задача стоит посмотреть как меняется плотность распределения вероятностей во времени, вроде от количества людей не зависит.

zask в сообщении #554600 писал(а):

При чем тут "или"? Я понял так, что должно быть "и".

Да, должно быть и.

[zask]

etsm в сообщении #554327 писал(а):

В начальный момент времени местоположение объекта на поверхности задано гауссовым распределением. Найти функцию и плотность распределения вероятностей в произвольный момент времени в случае движения объекта в неизвестном направлении.

etsm в сообщении #554614 писал(а):

Выступающие над водой части объекта могут быть расположены к ветру под разными углами.

Как я понял, это разные объекты? То есть, кроме человека, присутствует еще и некий объект? Или здесь речь идет об одном объекте?

-- 02.04.2012, 00:47 --

Тут пахнет большой серьезной задачей, требующей полного и длительного погружения. Мне кажется, это не для вопросов на форуме. Кроме того, она скорее физическая, чем математическая. Наконец, здесь важна не столько правильная техника, сколько правильные концепты.

Вопрос о двух направлениях вообще непонятен. Почему это существенно? О каких временах идет речь? Человек двигается вдоль некоторого объекта? То есть не успевает отплыть? При чем тут ветер? Два направления сильно уменьшают хаос.

[etsm]

Если посмотреть на задачу в общем, то человек может находится в воде или связан с объектом (на объекте или держаться за него). Это разные сценарии и для каждого сценария строится своя плотность.

etsm в сообщении #554558 писал(а):

Пока пытаюсь решить задачу для первого варианта.

Т.е. для начала, хотелось бы построить плотность для случая когда человек в воде и дрейфа нет.
Если правильно понимаю, его движение можно считать хаотическим.

[zask]

Если человек еще и быстро меняет направление движения тогда это диффузия. Просто смотрите диффузионное расплывание гауссиана.

Если же нет, т.е., если он плывет с раз и навсегда выбранной скоростью - то это другая задача. В этом случае она не описывается уравнением диффузии даже для ансамбля пловцов, поскольку картинка (при больших временах) пропорциональна времени (а не корню из времени). Скорее она будет напоминать движение расплывающегося кольца.

В общем случае, если ввести некоторое время или длину корреляции (когда пловец сохраняет направление), задача будет промежуточной между этими двумя случаями. Она похоже (отдаленно) на взрыв в газе: в зависимости от длины свободного пробега будет меняться характер расплывания.

[PAV]

Мне кажется, что в итоге здесь просто получается сумма нескольких случайных величин: одна задает начальное положение, другая - случайное смещение. Если смещение, в свою очередь, складывается из нескольких составляющих, тогда слагаемых будет больше. Содержательная постановка задачи состоит в том, чтобы распределения всех слагаемых задать, однако после этого вроде как идейно ничего принципиально сложного нет. Просто нужно найти распределение суммы случайных величин. Разве что технически окажется сложно.

[zask]

PAV в сообщении #554633 писал(а):

Мне кажется, что в итоге здесь просто получается сумма нескольких случайных величин: одна задает начальное положение, другая - случайное смещение. Если смещение, в свою очередь, складывается из нескольких составляющих, тогда слагаемых будет больше. Содержательная постановка задачи состоит в том, чтобы распределения всех слагаемых задать, однако после этого вроде как идейно ничего принципиально сложного нет. Просто нужно найти распределение суммы случайных величин. Разве что технически окажется сложно.

Не совсем так: функция корреляции скорости очень важна:

zask в сообщении #554631 писал(а):

Если человек еще и быстро меняет направление движения тогда это диффузия. Просто смотрите диффузионное расплывание гауссиана.

Если же нет, т.е., если он плывет с раз и навсегда выбранной скоростью - то это другая задача. В этом случае она не описывается уравнением диффузии даже для ансамбля пловцов, поскольку картинка (при больших временах) пропорциональна времени (а не корню из времени). Скорее она будет напоминать движение расплывающегося кольца.

В общем случае, если ввести некоторое время или длину корреляции (когда пловец сохраняет направление), задача будет промежуточной между этими двумя случаями. Она похоже (отдаленно) на взрыв в газе: в зависимости от длины свободного пробега будет меняться характер расплывания.

[etsm]

PAV
Пришлось немного углубить тему, но задача проще: делается допущение о характере движения объекта и строится плотность распределения.
Тоже думаю, что это сумма случайных величин. Затруднение вызывают cos и sin. У Гнеденко есть пример с поворотом осей координат, там есть sin и cos, но нет времени. Пока до конца не разобрался.

Видимо нужно еще упростить и свести к двойному интегралу найдя плотность для случайной величины

$ \eta=\upsilon t \cos(\psi) $

$ F_1(x)=\iint\limits_{\upsilon t \cos(\psi)<x}p(\psi)p(\upsilon) d\psi d\upsilon $

а потом получить для суммы двух случайных величин.

$ \eta_x=\xi_x + \eta $