покрыть 3 целые точки при параллельном переносе фигуры

[Fedya]

Уважаемые форумчане, нужно решить задачку. Но не могу придумать ничего толкового. Подскажите , пожалуйста по решению.

Ограниченная фигура на плоскости имеет площадь S>2. Докажите, что её можно параллельно перенести так, чтобы она покрыла не менее 3 точек с целыми координатами

За ранее благодарен. С уважением.

[Dan B-Yallay]

Fedya в сообщении #553960 писал(а):

Ограниченная фигура на плоскости имеет площадь S>2. Докажите, что её можно параллельно перенести так, чтобы она покрыла не менее 3 точек с целыми координатами

А это вроде и неверно.

[alcoholist]

Профакторизуем плоскость по решетке целых чисел -- получим тор площади 1: $p:\mathbb{R}^2\to T^2$. Образ фигуры $S$ при этой факторизации покрывает ненулевую меру точек по крайней мере трижды:

$$ \operatorname{Area}(\{t\in p(S)\,:\,|p^{-1}(t)|\ge 3\})>0 $$

[Joker_vD]

А разве это верно для прямоугольника со сторонами $\frac{198}{100}$ и $\frac{201}{198}$?

[alcoholist]

Joker_vD в сообщении #553987 писал(а):

А разве это верно для прямоугольника со сторонами $\frac{198}{100}$ и $\frac{201}{198}$?

я в нем аж 4 точки насчитал -- туда влезает единичный квадрат

[Fedya]

Спасибо за помощь, но я ничего не понял. Сейчас буду разбираться. Надо так чтобы это было решено методами школьной алгебры...

[ИСН]

Так это и есть такими методами, только выражено заумно.
Если по-простому: разрежем всю плоскость на единичные квадратики. Теперь все квадратики, в которых есть кусочки нашей фигуры, наложим друг на друга...

[Fedya]

Разрезали, наложили... Не пойму в какую степь размышлять.

[Joker_vD]

Все, въехал. Блин, а как до такого вообще додуматься можно? :swoon:

[Dan B-Yallay]

Тоже только дошло.

[Fedya]

Ребят, дайте хоть маленькую подсказку. Ну не могу я догнать...

[Joker_vD]

Представьте, что фигура была заштрихована. Порезали плоскость на единичные квадратики, наложили те, на которых есть штриховка, друг на друга. Во сколько слоев будет штриховка?

[Fedya]

Все зависит от фигуры. Может быть ровно в два слоя. Может быть в некоторых местах в два, в некоторых в три, а в некоторых ноль. А может быть что будет и десять слоев...

-- 31.03.2012, 02:37 --

АААА! Короче, понял вроде. Если площадь фигуры больше двух, то при наложении заштрихованных частей в любом случае хоть в одной точке будет тройное наложение, а так как квадратики мы налаживали при помощи параллельного переноса на вектор равный стороне квадрата, то значит исходное положение этих точек будет образововать три вершины квадрата со стороной 1. И разумеется фигуру можно будет переместить параллельным переносом так чтобы фигура покрыла три точки с целыми координатами. Спасибо!!!!!

[vvvv]

Между двумя бесконечно близкими, параллельными прямыми (не параллельными осям координат) находится бесконечно много целых точек?!

-- Сб мар 31, 2012 12:45:02 --

[ИСН]

Бесконечно близкие - это я не знаю, что такое, а если речь идёт об отстоящих на одну стопицотмиллионную (и их ещё можно параллельно переносить; это может оказаться важно) - то да, конечно.