ОДУ, решение стремится к бесконечности

[INGELRII]

Пусть у нас есть некое ОДУ, с начальными условиями, чье решение при некотором значении переменной стремится к бесконечности. Скажем, $y'=e^y, y(0)=0$. Решением будет $y=-\ln (1-t)$. Теперь мы его пытаемся решить неким методом, скажем, Эйлера. Вот тут и возникнет проблема, поскольку в какую бы точку $(t_i, y_i)$ мы ни пришли, на следующем шаге получаем точку $(t_i+h, y_i+h \exp(y_i))$. То есть решение так и будет строиться на всей числовой прямой, будто так и надо. Это, конечно, если бы компьютер имел бесконечную память. На самом деле, на некотором шаге значение функции превысит максимально допустимое, и мы сможем сказать, что функция, очевидно, уходит в бесконечность. Но вот в какой конкретно точке, это тот еще вопрос. И если пример не тестовый, а из жизни, то только и останется сказать "ну типа где-то тут функция уходит далеко вверх".

Собственно, хочется знать, какие методы придуманы для уточнения особых значений аргумента, при которых решение стремится к бесконечности?

[ewert]

INGELRII в сообщении #553814 писал(а):

какие методы придуманы для уточнения особых значений аргумента, при которых решение стремится к бесконечности?

Я каких-то специальных методов не знаю. Но ведь есть же универсальный метод -- научного тыка. Посчитали при некотором шаге, где решение перешагивает через условную бесконечность. Потом уменьшили шаг вдвое, потом ещё...

[Полосин]

Один из распространенных методов в теории нелинейных уравнений - получение априорных оценок на интервал, в котором находится особая точка, с помощью различных соотношений, как правило - интегральных.

[ИСН]

Переписать уравнение под функцию $1\over y(x)$ и решать для неё. Profit!

[ewert]

ИСН в сообщении #553943 писал(а):

Переписать уравнение под функцию $1\over y(x)$ и решать для неё. Profit!

У меня, кстати, ровно эта же мысль тотчас и возникла. Но она неадекватна: численное решение тот ноль не пересечёт. Это всего лишь перевод стрелок: от жутко больших значений на жутко маленькие.

[ИСН]

Смотря какой диффур.

[INGELRII]

ewert в сообщении #553820 писал(а):

Посчитали при некотором шаге, где решение перешагивает через условную бесконечность. Потом уменьшили шаг вдвое, потом ещё...

Как-то это как-то. Процедура построения решения может быть слишком трудоемкой, чтобы прогонять ее много раз на уменьшающихся шагах. Хотя от отчаяния можно и так поступить.

Полосин в сообщении #553922 писал(а):

Один из распространенных методов в теории нелинейных уравнений - получение априорных оценок на интервал, в котором находится особая точка, с помощью различных соотношений, как правило - интегральных.

Это может быть полезным. Можно подробней? Скажем, книгу, где можно об этом почитать.

ИСН в сообщении #553979 писал(а):

Смотря какой диффур.

Дифур из стартового сообщения - вряд ли так просто сдастся. Кроме того, как быть с начальным условием $y(0)=0$?

Если уж делать замены, то мне больше на ум приходит $y=\tg z$. И там смотреть, при каких аргументах $z=\frac{\pi}{2}+\pi n$.

[ИСН]

Для данного конкретного диффура Ваша замена плоха тем же, чем моя (ewert пояснил, чем именно; правда, моя ещё хуже из-за проблемы с начальными условиями, но это мелочь). Надо стремиться к линеаризации, хотя бы приблизительной и только в окрестности особенности - ну, в тех случаях, когда вид диффура позволяет уяснить, какая именно замена для этого потребна. В данном случае это $f(x)=e^{-y(x)}$, но легко говорить, конечно, когда диффур вообще решается; вот если бы нет

[Padawan]

А если взять за функцию $x=x(y)$, т.е. от уравнения $y'_x=f(x,y)$ перейти к уравнению $x'_y=\frac{1}{f(x,y)}$ ? Тогда задача сведется к нахождению (оценке) предела $\lim\limits_{y\to \infty} x(y)$. Численно можно.