Можно ли менять строчки при поиске Обратной матрицы Гауссом

[integral2009]

Допустим у нас есть невырожденная квадратная матрица $A$. Мы хотим найти обратную матрицу $A^{-1}$. Выбрали метод Гаусса.

Записываем единичную матрицу справа $(A|E)$. Хотим свести к $\to (E|A^{-1})$. При элементарных преобразованиях на главной диагонали у нас появился ноль.

Как быть в такой ситуации? Можно ли переставлять строчки местами или столбцы?

[bot]

Любые элементарные преобразования строк матрицы $(A|B)$ сохраняют решения матричного уравнения $AX=B$. Перестановка строк - это элементарное преобразование.

[integral2009]

Я имел ввиду не систему уравнений... А нахождение обратной матрицы. Или я как-то не очень понял вас.

Вы имеете ввиду, что и для $A\cdot A^{-1}=E$ это годится?

[Sonic86]

Перестановка строк выражается через суммы строк, так что является элементарным преобразованием:
$(a,b)\to (a,b+a)\to (a-(b+a),b+a)=(-b,b+a)\to (-b,a)\to (b,a)$

[Joker_vD]

(Оффтоп)

integral2009 в сообщении #552889 писал(а):

Я имел ввиду не систему уравнений... А нахождение обратной матрицы.

Обратная матрица всегда ищется как решение системы уравнений $AX=E$.