умножение функций

[valtih1978]

Коммутаторы часто объясняются на производной произведения, $g d/dx (f)$. Тут f и g - функции. Но как вычисляется их произведение? Можно считать как скаляное (типа как row-vector на column vector или бра на кэт), а можно как outer product (умножение колонки на ряд). В данном случае вообще похоже на третий вариант - умножение соответствующих компонент (или как там компоненты непрерывной функции называются?). То есть и $g$ и $d/dx$ должны быть матрицами т.к. являются операторами. Right? Поэтому g является диагональной матрицей (или как там непрерывный вариант матрицы называется?). Короче вопрос: Почему нигде не пишут как математики выбирают правильный вариант умножения?

Догадываются? Но математика наука точная.

[alcoholist]

valtih1978 в сообщении #552507 писал(а):

Коммутаторы часто объясняются на производной произведения, $g d/dx (f)$

Под этой записью в приведенном Вами контексте математики понимают $T_g\circ D(f)$, где $T_g$ -- оператор умножения на функцию $g$, а $D$ -- оператор взятия производной.

И не надо ни про какие колонки думать, пока в пространстве функций не выбран базис. Все же ясно: $D\circ T_g(f)=(gf)'=g'f+gf'$, поэтому

$$ D\circ T_g=T_{Dg}+T_g\circ D $$

[alcoholist]

Кстати, операцию

valtih1978 в сообщении #552507 писал(а):

скалярное (типа как row-vector на column vector или бра на кэт)

лучше все-таки называть "спариванием"

[Oleg Zubelevich]

alcoholist в сообщении #552545 писал(а):

Кстати, операцию

valtih1978 в сообщении #552507 писал(а):

скалярное (типа как row-vector на column vector или бра на кэт)

лучше все-таки называть "спариванием"

он стесняется называть ее "спариванием"

[valtih1978]

Ну как не выбран базис? А $x$ что такое? По-моему это индекс вектора. Что он пробегает, если не элементы вектора (или как они там у функции называются?). Он пробигает координаты функции во всех пространствах. А если есть координата (коэффициент при базисном векторе) то и базис какой-то должен быть.

За оператор $T_g$ спасибо, так действительно понятнее чем профессора в различных курсах записывают. Но вопрос мой был в том как вы догадываетесь какой способ "спаривания" нужно выбирать? Про сокращение $\lim_{dx \rightarrow 0} df/dx = f' $ исписаны кучи учебников. Но каким образом определяется примененое в данном случае сокращение, $T_g$ \rightarrow $g$?

[alcoholist]

valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):

А если есть координата (коэффициент при базисном векторе) то и базис какой-то должен быть.

такой "базис" состоит из функций типа

$$ e_x(y)=\left\{\begin{array}{ll} 1,&x=y\\ 0,&x\ne y\end{array}\right., $$

которые нафиг никому не нужны

valtih1978 в сообщении #552507 писал(а):

Но как вычисляется их произведение?

кого их?

valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):

Про сокращение $\lim_{dx \rightarrow 0} df/dx = f' $ исписаны кучи учебников

никогда не видел такого

valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):

Но каким образом определяется примененое в данном случае сокращение, $T_g$ \rightarrow $g$?

сокращение не определяется, о нем договариваются, или оно ясно из контекста... Вот например, $3$ -- это число, но это еще и гомоморфизм $3:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$: $3(x)=3x$; и это не все возможные значения символа $3$.

[valtih1978]

alcoholist в сообщении #552621 писал(а):

valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):

А если есть координата (коэффициент при базисном векторе) то и базис какой-то должен быть.

такой "базис" состоит из функций типа

$$ e_x(y)=\left\{\begin{array}{ll} 1,&x=y\\ 0,&x\ne y\end{array}\right., $$

которые нафиг никому не нужны

Я тоже про $\delta$-векторы подумал. Но "не нужны" и "не определены" - разые вещи. Нужны хотябы для того чтобы вы не могли сказать что в на компоненты нельзя разбивать и в виде колонки записывать.

alcoholist в сообщении #552621 писал(а):

valtih1978 в сообщении #552507 писал(а):

Но как вычисляется их произведение?

кого их?

Это из первого вопроса вопрос, который целиком про произведение функций.

alcoholist в сообщении #552621 писал(а):

valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):

Про сокращение $\lim_{dx \rightarrow 0} df/dx = f' $ исписаны кучи учебников

никогда не видел такого

Это определение производной. Предел отношения приращений.

alcoholist в сообщении #552621 писал(а):

valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):

Но каким образом определяется примененое в данном случае сокращение, $T_g$ \rightarrow $g$?

сокращение не определяется, о нем договариваются, или оно ясно из контекста... Вот например, $3$ -- это число, но это еще и гомоморфизм $3:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$: $3(x)=3x$; и это не все возможные значения символа $3$.

А где договариваются, любопытно? Про производные я видел не раз разжёвывают. А когда адвантсед становятся, уже без определений двигаются?

С тройкой тоже интересно. Но с ней вроде понятно. Число - это абстрагирование от единицы измерений. Что ты считаешь палочки, что сердечки, что ящики, $2 object = 1 object + 1 object $ и поэтому единицы измерения можно сократить. Умножение вектора на число должно дать три вектора. Для этого надо умножить все компоненты на три: $3<x,y,z> = <3x,3y,3z>$. То что тройка должна быть матрицей в данном случае тоже понять можно хоть и не сразу очевидно. Но интересно можно ли с ходу понимать выражения с умножением функций, без анализа совместимости операций?

[alcoholist]

valtih1978 в сообщении #552650 писал(а):

Я тоже про $\delta$-векторы подумал. Но "не нужны" и "не определены" - разые вещи. Нужны хотябы для того чтобы вы не могли сказать что в на компоненты нельзя разбивать и в виде колонки записывать.

valtih1978 в сообщении #552650 писал(а):

Это из первого вопроса вопрос, который целиком про произведение функций.

valtih1978 в сообщении #552650 писал(а):

Это определение производной. Предел отношения приращений.

no comments:(

Я столько каши не разжую один -- разложите по разным тарелкам топикам

valtih1978 в сообщении #552650 писал(а):

Умножение вектора на число должно дать три вектора

[ewert]

valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):

Ну как не выбран базис? А $x$ что такое? По-моему это индекс вектора. Что он пробегает, если не элементы вектора (или как они там у функции называются?). Он пробигает координаты функции во всех пространствах.

Совершенно верно, его можно интерпретировать как индекс. Если уж очень приспичит. А вот координат никаких нет, поскольку нету никакого базиса. Ибо первичным является именно понятие базиса, координаты -- это уже вторично.

Да, и вообще: что это мы тут делаем?...

[alcoholist]

ewert в сообщении #552657 писал(а):

А вот координат никаких нет, поскольку нету никакого базиса

alcoholist в сообщении #552621 писал(а):

"базис" состоит из функций типа

$$ e_x(y)=\left\{\begin{array}{ll} 1,&x=y\\ 0,&x\ne y\end{array}\right., $$

которые нафиг никому не нужны

а $x$-ая координата вектора $f$ -- это $f(X)$:))

[ewert]

alcoholist в сообщении #552664 писал(а):

"базис" состоит из функций типа

$$ e_x(y)=\left\{\begin{array}{ll} 1,&x=y\\ 0,&x\ne y\end{array}\right., $$

не, это не "базис", даже при всех кавычках

[alcoholist]

ewert в сообщении #552672 писал(а):

не, это не "базис", даже при всех кавычках

$f=\sum f(x)e_x$

[ewert]

alcoholist в сообщении #552682 писал(а):

$f=\sum f(x)e_x$

таких сумм не бывает

[alcoholist]

бывает, но это уже оффтопик

[valtih1978]

alcoholist в сообщении #552656 писал(а):

valtih1978 в сообщении #552650 писал(а):

Это определение производной. Предел отношения приращений.

no comments:(

Вместо $d$ должно быть Δ?

ewert в сообщении #552684 писал(а):

alcoholist в сообщении #552682 писал(а):

$f=\sum f(x)e_x$

таких сумм не бывает

Это тоже интересный вопрос. Мне тоже кажется что координаты должны зависеть от базиса. Но Почему не бывает? Я думаю базисов может быть много разных и в частности в таком можно функцию записать.

Как мы догадываемся что тут не произведение функций, а для каждого x берётся координата f(x) и умножается на соотв. вектор?