2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 умножение функций
Сообщение27.03.2012, 00:17 
Заблокирован


01/02/11

97
Коммутаторы часто объясняются на производной произведения, $g d/dx (f)$. Тут f и g - функции. Но как вычисляется их произведение? Можно считать как скаляное (типа как row-vector на column vector или бра на кэт), а можно как outer product (умножение колонки на ряд). В данном случае вообще похоже на третий вариант - умножение соответствующих компонент (или как там компоненты непрерывной функции называются?). То есть и $g$ и $d/dx$ должны быть матрицами т.к. являются операторами. Right? Поэтому g является диагональной матрицей (или как там непрерывный вариант матрицы называется?). Короче вопрос: Почему нигде не пишут как математики выбирают правильный вариант умножения?

Догадываются? Но математика наука точная.

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 03:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
valtih1978 в сообщении #552507 писал(а):
Коммутаторы часто объясняются на производной произведения, $g d/dx (f)$


Под этой записью в приведенном Вами контексте математики понимают $T_g\circ D(f)$, где $T_g$ -- оператор умножения на функцию $g$, а $D$ -- оператор взятия производной.

И не надо ни про какие колонки думать, пока в пространстве функций не выбран базис. Все же ясно: $D\circ T_g(f)=(gf)'=g'f+gf'$, поэтому
$$
D\circ T_g=T_{Dg}+T_g\circ D
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 07:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Кстати, операцию
valtih1978 в сообщении #552507 писал(а):
скалярное (типа как row-vector на column vector или бра на кэт)
лучше все-таки называть "спариванием"

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 09:19 


10/02/11
6786
alcoholist в сообщении #552545 писал(а):
Кстати, операцию
valtih1978 в сообщении #552507 писал(а):
скалярное (типа как row-vector на column vector или бра на кэт)
лучше все-таки называть "спариванием"

он стесняется называть ее "спариванием"

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 11:27 
Заблокирован


01/02/11

97
Ну как не выбран базис? А $x$ что такое? По-моему это индекс вектора. Что он пробегает, если не элементы вектора (или как они там у функции называются?). Он пробигает координаты функции во всех пространствах. А если есть координата (коэффициент при базисном векторе) то и базис какой-то должен быть.

За оператор $T_g$ спасибо, так действительно понятнее чем профессора в различных курсах записывают. Но вопрос мой был в том как вы догадываетесь какой способ "спаривания" нужно выбирать? Про сокращение $\lim_{dx \rightarrow 0} df/dx = f' $ исписаны кучи учебников. Но каким образом определяется примененое в данном случае сокращение, $T_g$ \rightarrow $g$?

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):
А если есть координата (коэффициент при базисном векторе) то и базис какой-то должен быть.

такой "базис" состоит из функций типа
$$
e_x(y)=\left\{\begin{array}{ll}
1,&x=y\\
0,&x\ne y\end{array}\right.,
$$
которые нафиг никому не нужны

valtih1978 в сообщении #552507 писал(а):
Но как вычисляется их произведение?

кого их?

valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):
Про сокращение $\lim_{dx \rightarrow 0} df/dx = f' $ исписаны кучи учебников

никогда не видел такого

valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):
Но каким образом определяется примененое в данном случае сокращение, $T_g$ \rightarrow $g$?

сокращение не определяется, о нем договариваются, или оно ясно из контекста... Вот например, $3$ -- это число, но это еще и гомоморфизм $3:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$: $3(x)=3x$; и это не все возможные значения символа $3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 14:55 
Заблокирован


01/02/11

97
alcoholist в сообщении #552621 писал(а):
valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):
А если есть координата (коэффициент при базисном векторе) то и базис какой-то должен быть.

такой "базис" состоит из функций типа
$$
e_x(y)=\left\{\begin{array}{ll}
1,&x=y\\
0,&x\ne y\end{array}\right.,
$$
которые нафиг никому не нужны


Я тоже про $\delta$-векторы подумал. Но "не нужны" и "не определены" - разые вещи. Нужны хотябы для того чтобы вы не могли сказать что в на компоненты нельзя разбивать и в виде колонки записывать.

alcoholist в сообщении #552621 писал(а):
valtih1978 в сообщении #552507 писал(а):
Но как вычисляется их произведение?

кого их?

Это из первого вопроса вопрос, который целиком про произведение функций.


alcoholist в сообщении #552621 писал(а):
valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):
Про сокращение $\lim_{dx \rightarrow 0} df/dx = f' $ исписаны кучи учебников

никогда не видел такого


Это определение производной. Предел отношения приращений.

alcoholist в сообщении #552621 писал(а):
valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):
Но каким образом определяется примененое в данном случае сокращение, $T_g$ \rightarrow $g$?

сокращение не определяется, о нем договариваются, или оно ясно из контекста... Вот например, $3$ -- это число, но это еще и гомоморфизм $3:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$: $3(x)=3x$; и это не все возможные значения символа $3$.


А где договариваются, любопытно? Про производные я видел не раз разжёвывают. А когда адвантсед становятся, уже без определений двигаются?

С тройкой тоже интересно. Но с ней вроде понятно. Число - это абстрагирование от единицы измерений. Что ты считаешь палочки, что сердечки, что ящики, $2 object = 1 object + 1 object $ и поэтому единицы измерения можно сократить. Умножение вектора на число должно дать три вектора. Для этого надо умножить все компоненты на три: $3<x,y,z> = <3x,3y,3z>$. То что тройка должна быть матрицей в данном случае тоже понять можно хоть и не сразу очевидно. Но интересно можно ли с ходу понимать выражения с умножением функций, без анализа совместимости операций?

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
valtih1978 в сообщении #552650 писал(а):
Я тоже про $\delta$-векторы подумал. Но "не нужны" и "не определены" - разые вещи. Нужны хотябы для того чтобы вы не могли сказать что в на компоненты нельзя разбивать и в виде колонки записывать.

valtih1978 в сообщении #552650 писал(а):
Это из первого вопроса вопрос, который целиком про произведение функций.

valtih1978 в сообщении #552650 писал(а):
Это определение производной. Предел отношения приращений.


no comments:(

Я столько каши не разжую один -- разложите по разным тарелкам топикам

valtih1978 в сообщении #552650 писал(а):
Умножение вектора на число должно дать три вектора


:appl:

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 15:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
valtih1978 в сообщении #552581 писал(а):
Ну как не выбран базис? А $x$ что такое? По-моему это индекс вектора. Что он пробегает, если не элементы вектора (или как они там у функции называются?). Он пробигает координаты функции во всех пространствах.

Совершенно верно, его можно интерпретировать как индекс. Если уж очень приспичит. А вот координат никаких нет, поскольку нету никакого базиса. Ибо первичным является именно понятие базиса, координаты -- это уже вторично.

Да, и вообще: что это мы тут делаем?...

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
ewert в сообщении #552657 писал(а):
А вот координат никаких нет, поскольку нету никакого базиса

alcoholist в сообщении #552621 писал(а):
"базис" состоит из функций типа
$$ e_x(y)=\left\{\begin{array}{ll} 1,&x=y\\ 0,&x\ne y\end{array}\right., $$
которые нафиг никому не нужны


а $x$-ая координата вектора $f$ -- это $f(X)$:))

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 15:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
alcoholist в сообщении #552664 писал(а):
"базис" состоит из функций типа
$$ e_x(y)=\left\{\begin{array}{ll} 1,&x=y\\ 0,&x\ne y\end{array}\right., $$

не, это не "базис", даже при всех кавычках

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
ewert в сообщении #552672 писал(а):
не, это не "базис", даже при всех кавычках


$f=\sum f(x)e_x$

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 16:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
alcoholist в сообщении #552682 писал(а):
$f=\sum f(x)e_x$

таких сумм не бывает

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
бывает, но это уже оффтопик

 Профиль  
                  
 
 Re: умножение функций
Сообщение27.03.2012, 19:55 
Заблокирован


01/02/11

97
alcoholist в сообщении #552656 писал(а):
valtih1978 в сообщении #552650 писал(а):
Это определение производной. Предел отношения приращений.


no comments:(

Вместо $d$ должно быть Δ?


ewert в сообщении #552684 писал(а):
alcoholist в сообщении #552682 писал(а):
$f=\sum f(x)e_x$

таких сумм не бывает

Это тоже интересный вопрос. Мне тоже кажется что координаты должны зависеть от базиса. Но Почему не бывает? Я думаю базисов может быть много разных и в частности в таком можно функцию записать.

Как мы догадываемся что тут не произведение функций, а для каждого x берётся координата f(x) и умножается на соотв. вектор?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group