Доказать разрывность функционала

[vlad_light]

Доказать, что линейный функционал $f:C([-1,1])\to \mathbb R; x(t)\mapsto x'(t)|_{t=0}$ является разрывным.
Для этого покажем, что $f$ - неограничен. Рассматриваем функцию $x^*(t)=\sqrt t\chi _{([0,1])}(t)-\sqrt {-t}\chi _{([-1,0])}(t)\in C([-1,1]); \|x^*\|_{C([-1,1])}=1$. Тогда $\|f\|=\sup\limits_{x\neq 0}\frac{|f(x)|}{\|x\|}=|(x^*)'(0)|=\frac{1}{2\sqrt {|t|}}|_{t=0}=+\infty$. Следовательно $f$ разрывен.
Я правильно рассуждаю? Спасибо!

[Oleg Zubelevich]

vlad_light в сообщении #552163 писал(а):

Доказать, что линейный функционал $f:C([-1,1])\to \mathbb R; x(t)\mapsto x'(t)|_{t=0}$ является разрывным.

этот функционал не определен на $C$ , выражайтесь четче

[vlad_light]

написано, что он задан на множестве дифференцируемых функций пространства $C([a,b])$. Т.е. он задан на $C^1([-1,1])$?