Эрмитова и билинейная формы

[letto]

Пусть у нас есть вещественная положительно определенная билинейная форма на вещественном пространстве. Когда она является вещественной частью эрмитовой положительно определенной формы?
Понятно, что вещественная часть эрмитовой формы -- билинейная положительно определенная, а как сделать в обратную сторону не совсем понимаю.

[alcoholist]

Правильно ли я понял Ваш вопрос:
Пусть на $\mathbb{R}^{2n}$ с комплексной структурой задано скалярное произведение. Является ли оно вещественной частью некоторой положительно определенной эрмитовой формы?

[AlexValk]

Выделим в комплексном векторе $x$ и эрмитовой матрице $A$ вещественную и мнимую части: $x^TAx=(x'+ix'')^T (A'+iA'')(x'+ix'')$.
Матрица $A'$ - симметрична ($x'^TA'x''=x''^TA'x'$), а матриц $A''$ - антисимметрична ($x'^TA''x''=-x''^TA''x'$). После раскрытия скобок и упрощений $ \forall x',x''\in \mathbb{R}^n$, $|x'|^2+|x''|^2\not=0$ получим, в силу положительной определённости $A$,
$0<x^TAx=x'^TA'x'+x''^TA'x''.$.
Осталось сделать выводы про вытекающие отсюда свойства $A'$, и про интересующие Вас свойства $A''$, которая в правой части отсутствует