Симметричность функции и теорема Фурье

[lomaxe]

Здравствуйте!
Перед тем как задать вопрос, хочу процитировать из книги:

"Таким образом, можно сказать, что $i_a$ - периодическая, но не синусоидальная функция времени и поэтому согласно теореме Фурье $i_a$ может быть представлен в виде ряда

$i_a=I_{a0}+I_{a1}\cos(\omega t)+I_{a2}\cos(2\omega t)+I_{a3}\cos(3\omega t)+ ...+I_{a1}\sin(\omega t)+I_{a2}\sin(2\omega t)+I_{a3}\sin(3\omega t)...,$

где $I_{a0}$ - среднее значение (постоянная составляющая) тока, $I_{a1}, I_{a2}...$ амплитуда токов 1, 2, ... гармоник.
Ввиду симметричности $i_a$, т.е. того, что $i_a(+\omega t)=i_a(-\omega t)$ члены синуса обращаются в 0."

Вопрос вот в чём. Я не понял, как связанно то, что $i_a$ симметрична и что члены синуса обращаются в 0.
Подскажите пожалуйста. Рисунок того, о чём говорится, представлен ниже, где функция, которая разлаживается в ряд Фурье обведена красным.

[AKM]

lomaxe в сообщении #552019 писал(а):

Перед тем как задать вопрос, хочу процитировать из книги: [указание на книгу-страницу, наверное, здесь не помешало бы; у кого-то она есть, даже в неэлектронном виде (бумажном, так это, кажется, называется)]

Тема перемещена в "Помогите решить / разобраться".

[ИСН]

Все вот эти $I_{a1},\,I_{a2}$ - они откуда берутся? Их боги находят или люди? Если люди, то как?

[lomaxe]

ИСН в сообщении #552084 писал(а):

Все вот эти $I_{a1},\,I_{a2}$ - они откуда берутся? Их боги находят или люди? Если люди, то как?

Это коэффициенты при гармонических функциях. Откуда берутся? Да наверное находятся как те же коэффициенты при разложении функции в ряд Фурье.

-- Вс мар 25, 2012 19:07:45 --

Книга называется "Радиопередающие устройства", автора Б. П. Терентьев, Н. И. Калашников, Л. Е. Клягин, Б. Б. Штейн. год издания - 1972., стр. 20

[ИСН]

lomaxe в сообщении #552091 писал(а):

Да наверное находятся как те же коэффициенты при разложении функции в ряд Фурье.

Так, мы движемся в правильном направлении. А как находятся те коэффициенты?

[ewert]

lomaxe в сообщении #552091 писал(а):

Книга называется "Радиопередающие устройства", автора Б. П. Терентьев, Н. И. Калашников, Л. Е. Клягин, Б. Б. Штейн. год издания - 1972., стр. 20

Эти нищастные товарищи, вероятно, полагают, что чётная функция может раскладываться только по чётным. И по какому-то недоразумению думают, что это очевидно вообще всем читателям, а не только думающим.

[svv]

Или так. Допустим даже, что коэффициенты в
$i(t)=I_{a0}+I_{a1}\cos \omega t+I_{a2}\cos 2\omega t+...+I_{b1}\sin \omega t+I_{b2}\sin 2\omega t+...$
находят боги (я исправил кое-где $a$ на $b$).

Но даже боги не в силах изменить тот факт, что $\cos n \omega t$ -- функция четная, а $\sin n \omega t$ нечетная:
$\cos(- n \omega t)=+\cos n \omega t$
$\sin(- n \omega t)=-\sin n \omega t$

Значит,

$$i(-t)=I_{a0}+I_{a1}\cos (-\omega t)+I_{a2}\cos (-2\omega t)+...+I_{b1}\sin (-\omega t)+I_{b2}\sin(-2\omega t)+...$$

$$=I_{a0}+I_{a1}\cos \omega t+I_{a2}\cos 2\omega t+...-I_{b1}\sin \omega t-I_{b2}\sin2\omega t-...$$

Теперь найдите полусумму $\frac{i(t)+i(-t)} 2$. Вы увидите, что косинусы сохранятся, а синусы сократятся. Так как Ваша функция четная, это равно $i(t)$, и Вы получили разложение, где только косинусы (если только ненулевые синусы вообще были вначале -- на самом деле их не было).

[lomaxe]

Спасибо за разъяснения!
В общем то всё понятно. По ходу рассуждения возник следующий вопрос. На картинке взята функция относительно нулевого отсчёта времени так, что она выходит симметрична. А если сместить шкалу времени так, что функция относительно нуля станет несимметричной, что из этого выйдет? По идее, спектр должен остаться неизменным (т.е. составляющие ряда Фурье должны остаться теми же), ведь сама форма периодического сигнала не меняется. А вот синусы наверное в таком случае не сократятся? И тут выходит, что уже спектр не тот. Но ведь он должен остаться неизменным. В чём тут фишка??? :)

-- Вс мар 25, 2012 21:47:42 --

Цитата:

Эти нищастные товарищи, вероятно, полагают, что чётная функция может раскладываться только по чётным. И по какому-то недоразумению думают, что это очевидно вообще всем читателям, а не только думающим.

Ну, это далеко не несчастные товарищи:

"Учебник написан по программе курса радиопередающих устройств для специальности "Радиосвязь и радиовещание". Книга охватывает важнейшие вопросы теории режимов генераторов, модуляции и построения схем современных передатчиков. Много внимания уделено разъяснению физического смысла отдельных вопросов, расчёту режимов и элементов генераторов, а так же настройке передатчиков. Материал глав и разделов изложен и развит на основе многолетнего опыта кафедры радиопередающих устройств Московского ордена Трудового Красного Знамени электротехнического института связи.
Учебник подготовлен группой преподавателей под общей редакцией Б. П. Терентьева.
Авторы считают своим долгом принести благодарность за рецензирование рукописи и ряд ценных замечаний кафедре радиопередающих устройств ЛЭИС в лице его заведующего проф. Зейтленка Г.А., проф. Безчастнова Н. С. и доцентов Збалканского Э. С. , Свердлова Б. Д., Захарова А. М., Антипенко В. А., Силкина Г. И., Писаревского А. М., Хотякова А.И. и Хайкова А.З.
Кроме того, авторы благодарят кафедру передающих устройств ВЗЭИСа в лице проф. Аксёнова В. Н. и проф. Пирогова А. А., доцента Хмельницкого Е. П., а также в лице Алпатова Н. И., Рараева В. А."

Умнейшие люди писали :) Профессора давали рецензию. А тогда всё проверяли гораздо скурпулёзнее, чем сейчас :)

[svv]

lomaxe писал(а):

На картинке взята функция относительно нулевого отсчёта времени так, что она выходит симметрична. А если сместить шкалу времени так, что функция относительно нуля станет несимметричной, что из этого выйдет? По идее, спектр должен остаться неизменным (т.е. составляющие ряда Фурье должны остаться теми же), ведь сама форма периодического сигнала не меняется. А вот синусы наверное в таком случае не сократятся? И тут выходит, что уже спектр не тот. Но ведь он должен остаться неизменным. В чём тут фишка??? :)

Фишка в том, что спектр отражает не только амплитуду, но и фазу гармоник. От фазы зависит соотношение между коэффициентом при косинусе и коэффициентом при синусе. Поэтому при сдвиге сигнала его спектр изменится.

Как именно изменится? Вы наверняка знаете, что можно объединить косинус и синус в комплексную экспоненту $e^{in\omega t}$, а коэффициенты перед ними в один комплексный коэффициент $c_n$. Тогда формулы сильно упрощаются. Так вот, временному сдвигу на $\Delta t$ соответствует умножение каждого $c_n$ на $e^{i n\omega \Delta t}$.

[nestoklon]

lomaxe в сообщении #552165 писал(а):

. А если сместить шкалу времени так, что функция относительно нуля станет несимметричной, что из этого выйдет?

Вторая строчка в таблице.

[Евгений Машеров]

Спектр мощности, который к сдвигу инвариантен, получается суммированием квадратов коэффициентов при синусах и косинусах. То есть при сдвиге появляется ненулевой коэффициент при синусе - а при косинусе сообразно уменьшается, так что сумма квадратов та же.
А вот фазовый спектр неинвариантен к сдвигу, хотя зависит от него очевидным образом.

[lomaxe]

Спасибо большое за разъяснения. В принципе, вопрос исчерпан :)