Связь причёсывания ежа и параллелезуемости многообразия

[wallflower]

В. Арнольд в "Обыкновенных дифференциальных уравнениях" (2000) пишет, что сфера $S^2$ не параллелизуема (нет диффеоморфизма $TS^2\simeq S^2\times \mathbb R^2$), поэтому, в частности, ежа невозможно причесать: хотя бы одна игла будет перпендикулярна поверхности.

Как он сделал такой вывод?

[alcoholist]

Что такое еж? Это сфера в $\mathbb{R}^3$, из каждой точки которой "непрерывно" торчит отрезок. Спроектируем каждый отрезок на касательное пространство в точке, из которой он торчит -- получится векторное поле $\xi: S^2\to TS^2$ на сфере. Пусть $\eta_s=s\times\xi_s$, $s\in S^2$ -- векторное поле, ортогональное к $\xi$.

Если у векторного поля $\xi$ нет нулей (ни одна "игла" исходного еже не была перпендикулярна сфере), то

$$ s,X_s\mapsto s,(X_s,\xi_s),(X_s,\eta_s)\,\,- $$

тот самый диффеоморфизм (скобочки означают скалярное произведение)

[bayak]

А как в двух словах объяснить, почему это так?

[wallflower]

alcoholist
Спасибо.