Оценка неизвестных параметров (матод макс. правдоподобия)

[somebody_someone]

Здравствуйте,возникли небольшие затруднения со следующей задачей:

Для оценки параметров a,b,c имеются три независимые выборки $a_1,...,a_n$; $b_1,...,b_n$;$ c_1,...,c_n$. Известно, что $c=a+b$ и величины $a_i, b_i, c_i$ распределены нормально с $Ma_i=a, Mb_i=b, Mc_i=c$. Дисперсии $Da_i=\sigma_a^2, Db_i=\sigma_b^2, Dc_i=\sigma_c^2$ известны. Найти:

a) оценки метода максимального правдоподобия $\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}$ параметров a, b, c, используя для каждого параметра только соответствующую ему выборку, а также найти математические ожидания и дисперсии этих оценок;
б) оценки метода максимального правдоподобия $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ параметров a, b, c, используя используя сразу три выборки и связь $c=a+b$, а также найти математические ожидания и дисперсии этих оценок.

В п. а) оценку вычислила (надеюсь, что верно), она совпала с выборочным средним. Мат ожидание оценки совпало с параметром а, а вот по поводу дисперсии, почитаной через мат ожидания, я сомневаюсь - $(a^2-n^2a^2)/n^2$

И что делать в п. б) я не представляю.

[--mS--]

(а) Показывайте, как вычисляли дисперсию выборочного среднего. Хотя лучше не показывать, а изучить свойства дисперсий и пересчитать.

(б) Функцию правдоподобия объединённой выборки написать можете?

[somebody_someone]

--mS-- в сообщении #551709 писал(а):

(а) Показывайте, как вычисляли дисперсию выборочного среднего. Хотя лучше не показывать, а изучить свойства дисперсий и пересчитать.

(б) Функцию правдоподобия объединённой выборки написать можете?

Ну свойства дисперсии тут ни при чем, потому что выражала ее через квадрат матож и матож квадрата. теперь получила 0, что меня еще больше не устраивает, чем прежний ответ )
А вот про объединенную выборку в курсе ничего не было, и, скорее всего, не будет. Ну сейчас попробую что-нибудь почитать

[somebody_someone]

--mS-- в сообщении #551709 писал(а):

(а) Показывайте, как вычисляли дисперсию выборочного среднего. Хотя лучше не показывать, а изучить свойства дисперсий и пересчитать.

Или выборочное среднее у нас константа, поэтому дисперсия 0?
ну вы хотя бы подтвердите мои гипотезы по этому поводу, а то я в замешательстве :)

-- 24.03.2012, 20:19 --

Было бы неплохо. если бы вы помогли составить функцию, потому что мне не совсем понятно, как это будет выглядеть для трех выборок

[--mS--]

somebody_someone в сообщении #551732 писал(а):

Или выборочное среднее у нас константа, поэтому дисперсия 0?
ну вы хотя бы подтвердите мои гипотезы по этому поводу, а то я в замешательстве :)

Выборочное среднее - не константа, а случайная величина. Могу повторить свой совет: изучить свойства дисперсии и ими воспользоваться. Какой смысл задавать вопросы на форуме, а потом не следовать данным советам?
К тому же нам отсюда совершенно не видно, что Вы вообще делаете. Покажите свои вычисления. Как вообще может дисперсия выражаться только через математическое ожидание случайной величины?

somebody_someone в сообщении #551732 писал(а):

Было бы неплохо. если бы вы помогли составить функцию, потому что мне не совсем понятно, как это будет выглядеть для трех выборок

Не для трёх выборок, а для одной, объединённой из трёх. Напишите определение функции правдоподобия. Пусть даны элементы выборки $X_1,\ldots, X_k$ с плотностями распределения $f_1(x),\,\ldots,\,f_k(x)$ соответственно. Функцией правдоподобия выборки называется ... (что?)

[somebody_someone]

Итак, поясню суть проблемы еще раз
Во-первых, я бы с такой уверенностью не называла оценку параметра случайной величиной, на то она и оценка. Свойства дисперсии я прекрасно помню и как раз по одному из них я могу утверждать, что мы вычисляли дисперсию от константы, ибо получила чистой воды ноль. Как я вычисляла? Ну опять же повторю: мат ожидание квадрата - квадрат мат ожидания. Если у вас есть какая-то другая версия решения, то настоятельно попрошу ее выразить, а не ссылаться на свойства дисперсии.
Во-вторых, если Вам не нравится "для трех выборок", то переформулируйте это так, чтобы Вам было понятно, и успокойтесь. Я думаю, мы оба понимаем, о чем говорим. Так вот, чуть-чуть литературы по данной теме я откопала, но вот того, что действительно нужно,
а именно примеров, нигде не видно. Поэтому на данном этапе я пытаюсь найти наглядную иллюстрацию хотя бы для двух выборок (для одной совместной, составленной из двух, ха). Тем более я пока что не представляю, как применить мое c=a+b.
И ради Бога, я знаю что такое функция правдоподобия, уравнение правдоподобия и прочее

[--mS--]

Вы неправильно понимаете суть проблемы. Суть Вашей проблемы совсем в другом.

Господа, если кто-нибудь желает пообщаться с ТС, велком. Ушла, потому как осознаю бессмысленность любых попыток помочь в этом случае.

[somebody_someone]

Оох, все ваши попытки необратимо сводятся к ссылкам на свойства и определения. Это, безусловно, замечательно, но можно было бы и сформулировать именно то, на основе чего вы опровергаете мои высказывания. так что вот эти пустые посылы к не самым маленьким блокам теории вряд ли кому-то помогут.

[GAA]

Тема перемещена из «Помогите решить / разобраться (М)» в Карантин.
somebody_someone, по правилам раздела ПРР (М) в начальном сообщении темы, содержащей вопрос по учебной задаче, должны быть приведены содержательные попытки решения.

1. Пожалуйста, запишите, как вы находите дисперсию выборочного среднего (формулами и с указанием свойств, которыми пользуетесь). $D [1/n \sum_{i=1}^n X_i] = \ldots$ (Чему равна дисперсия произведения числа на случайную величину? Чему равна дисперсия суммы независимых случайных величин? Чему равна дисперсия $X_i$? Элементы выборок предполагаются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами).
2. Выборки независимы, поэтому функция правдоподобия объединенной выборки будет равна «произведению функций правдоподобия первой, второй и третьей выборок» с соответствующими значениями параметра: $a$, $b$ и $a+b$. Запишите эту функцию правдоподобия и покажите, как Вы ищете оценки параметров.

После того как отредактируете последнее сообщение (предыдущие сообщения заблокированы), напишите заявку на возвращение в теме Сообщение в карантине исправлено

-- Sun 25.03.2012 21:05:22 --

Если не сможете записать функцию правдоподобия для «объединенной выборки», то запишите для каждой из трех.