лемма Цорна и базис бесконечномерного линейного пространства

[theambient]

Добрый!

Открыл Хелемского "Лекции по ФА", на первых же страницах простейшие упражнения.

Одним из них посвященно лемме Цорна.
Упр. Доказать, что любое (вообще говоря, бесконечномерное) линейное пространство обладает линейным базисом.
Указание. Сделайте множество всех линейно-независимых систем в заданном пространстве упордоченным по включению и рассмотрите его максимальный элемент, доставляемый леммой Цорна.
Приведу для полноты, собственно, лемму.
Лемма (Цорна). Пусть $X$ - упорядоченное множество со следующим свойством: любое его подможество, являющееся линено упорядоченным (в смысле порядка, порожденным порядком в $X$), ограничено, тогда в $X$ есть хотябы один максимальный элемент.

Для конечно-мерных пространств, которые мы постулируем как "всякая линейно-независимая система конечна" все проходит, так как выполняется условме леммы "ограниченно". Но в бесконечномерном случае? найдется система элементов, которая не ограничена!!!

Точнее, даже это чушь, что я написал. Даже в конечномерном случае хоть каждая и конечна, но для нигде не сказано, что мощность этих конечных систем элементов ограничена сверху, а если бы и было сказано, то зачем тогда нужна была лемма Цорна?

[Joker_vD]

Это не лемма Цорна. Это бред. Нету такого у Хелемского!

Цитата:

Лемма (Цорна). Пусть $X$ — упорядоченное множество со следующим свойством: любое его подмножество, являющееся линейно упорядоченным (в смысле порядка, порожденного исходным порядком в $X$), ограничено. Тогда в $X$ есть (хотя бы один) максимальный элемент.

А вообще ее обычно в терминах цепочек формулируют: Если в множестве $X$ любая цепочка $x_1\prec x_2\prec\dots\prec x_n\prec\dots$ ограничена (т.е. для нее найдется такой$x_M\colon x_i\prec x_M\;\forall i$), то в $X$ есть максимальный элемент.

[alcoholist]

theambient в сообщении #551600 писал(а):

но для нигде не сказано

?

[theambient]

Joker_vD в сообщении #551604 писал(а):

:shock: Это не лемма Цорна. Это бред. Нету такого у Хелемского!

Цитата:

Лемма (Цорна). Пусть $X$ — упорядоченное множество со следующим свойством: любое его подмножество, являющееся линейно упорядоченным (в смысле порядка, порожденного исходным порядком в $X$), ограничено. Тогда в $X$ есть (хотя бы один) максимальный элемент.

что-то где-то переглючило, возможно меня =), цитата правильная (если моя), что странно, а то что было в вопросе - нет. Исправил.

-- Сб мар 24, 2012 02:33:12 --

alcoholist в сообщении #551605 писал(а):

theambient в сообщении #551600 писал(а):

но для нигде не сказано

?

хорошо, сформулируем вопрос так: как определяется конечно- или бесконечномерное линейное пространство НЕ в терминах базиса?

[alcoholist]

theambient в сообщении #551606 писал(а):

хорошо, сформулируем вопрос так

как ни формулируй конструкцию

theambient в сообщении #551600 писал(а):

но для нигде не сказано

сложно по-русски интерпретировать

[theambient]

alcoholist в сообщении #551607 писал(а):

theambient в сообщении #551606 писал(а):

хорошо, сформулируем вопрос так

как ни формулируй конструкцию

theambient в сообщении #551600 писал(а):

но для нигде не сказано

сложно по-русски интерпретировать

как всегда, руки впереди мысли. извиняюсь за экспрессию. "для" - лишнее.

вопрос в том, откуда взять ограниченность "цепочек", в данном случае - цепочек вложенных линейно независимых систем в линейном пространстве (ЛП).

Предположим, что мы рассматриваем такие ЛП, что в них любая система линейно независимых элементов содержит не более $N$ элементов, тогда, в случае конечного $N$ применение леммы Цорна непонятно: все следует из посылки (если кто-то что-то скажет, то можно добавить условие, не ограничивающие общности, что найдется ЛНС содержащая в точности $N$ элементов и не найдется ни одной системы, содержащей $M>N$ элементов).

В бесконечномерном случае мы должны постулировтать, что всякая ЛНС является подмножеством какого-то множества фиксированной мощности....ээээ... в роли которого может выступать и множество элементов самого ЛП.

Получается, что условие ограниченности цепочки выполнено, причем границей выступает (всегда и безотносительно к предыдущим предположениям) само пространство, следовательно, найдется максимальный элемент в цепочке, являющийся максимальной ЛНC (МЛНС), а там уже доказать что (i) любой элмент представим и (ii) единственным образом в виде линйной комбинации элементов МЛНС несложно, как и равномощность всех МЛНС.

смущает только два факта:

• то что элемент МАКСИМАЛЬНЫЙ, то есть, может быть и не ЛНС
  
• то что цепочка ограничивается не ЛНС, хотя нет, тут ничего страшного как раз таки нет.

[hippie]

theambient в сообщении #551609 писал(а):

Вопрос в том, откуда взять ограниченность "цепочек", в данном случае — цепочек вложенных линейно независимых систем в линейном пространстве (ЛП).

В множестве ЛНС, частично упорядоченном по вложению, верхняя грань цепи указывается явно: это объединение цепи. (Достаточно проверить, что объединение цепи ЛНС, упорядоченной по вложению, само является ЛНС.)

[theambient]

hippie в сообщении #551613 писал(а):

theambient в сообщении #551609 писал(а):

Вопрос в том, откуда взять ограниченность "цепочек", в данном случае — цепочек вложенных линейно независимых систем в линейном пространстве (ЛП).

В множестве ЛНС, частично упорядоченном по вложению, верхняя грань цепи указывается явно: это объединение цепи. (Достаточно проверить, что объединение цепи ЛНС, упорядоченной по вложению, само является ЛНС.)

и в самом деле.

правильно ли я понимаю, что мы тогда решаем упомянутую "проблему максимального элемента" и гарантируем, что элемент доставляемый леммой цорна будет не просто максимальным, но и наибольшим, т.е., переходя в наши обозначения, - ЛНС?

[Joker_vD]

Нет. Максимальная линейно независимая система — это и есть базис. И их много, поэтому наибольшего элемента нет.

[theambient]

наверное, я путаю понятия максимальный и наибольший.

максимальный - это инфинум цепочки
наибольший - это максимум, то есть достижимый инфинум.

опять же ориентируюсь на хелемского который говорит, что любой наибольший элемент максимален, но обратное, вообще говоря, не верно.

поправьте пожалуйста, если неправ.

[Joker_vD]

Вообще-то "инфинум" — это нижняя грань.

Наибольший элемент — это который больше любого другого.
Максимальный элемент — это такой, больше которого нет.

Пример: Семейство множеств $\varnothing$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{1,2\}$, $\{1,3\}$, $\{2,3\}$, упорядоченное по включению. $\{1,2\}$ — максимальный элемент. $\{1,3\}$ — тоже максимальный. А наибольшего нету — нету такого, чтобы был и больше $\{1,2\}$, и $\{3\}$...

[theambient]

аха, понял, спасибо.

[RIP]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #551731 писал(а):

Вообще-то "инфинум" — это нижняя грань.

Не инфинум, а инфимум.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

RIP
Я цитировал. Хотя многие действительно почему-то говорят "инфинум" вместо "инфимум". У нас переподаватель матанализа, в остальном очень знающий и разбирающийся человек, и тот говорил "инфинум".

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #551820 писал(а):

У нас переподаватель матанализа, в остальном очень знающий и разбирающийся человек, и тот говорил "инфинум".

Не важно, как говорит, важно, как пишет