Дырокол

[мат-ламер]

За один прокол дырокол удаляет из бесконечной плоскости все точки, расстояние от которых до центра дырокола иррационально. Сколько надо проколов сделать, (двигая центр дырокола) чтобы удалить из плоскости все точки.

[hippie]

Ответ: 3.

2 недостаточно.
Выберем целое $n,$ большее расстояния между центрами двух дыроколов. Окружности радиуса $n,$ с центрами в этих точках, пересекаются в двух точках, расстояние от которых до обоих центров дыроколов не только рациональное, но даже целое.

3 достаточно.
Пусть $\xi$ — трансцендентное число.
Все 3 расстояния от произвольной точки плоскости до точек с координатами $(0;\ 0),\ (0;\ 1),\ (\xi;\ 0)$ не могут быть одновременно алгебраическими, а значит среди них найдётся иррациональное.

[мат-ламер]

Верно.

[Профессор Снэйп]

А если вместо плоскости взять $\mathbb{R}^n$, то ответ будет $n+1$?